Menge

12.04.2018, 16:15

Mathestudent500

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Menge

Hallo, liebes Forum
es geht um die Untersuchung folgender Menge
$\begin{eqnarray*} X=\{ f(x, y) \in \mathbb R^2 : y = sin (\frac{1}{x} ; x \in (0, \frac{1}{\pi} ) \} \end{eqnarray*}$ .

Ich soll das Innere bestimmen. Ich muss also die inneren Punke finden, d.h Umgebungen jeweils um diese Punkte , die in A wieder offen sind.

Da aber die Funktion osziliert zwischen 1 und-1 , würde ich sagen,dass das innere die leere Menge ist.
Wie beweist man das formal. Nimmt man eine Kugel mit r=1/2 und sagt, dass der Punkt nicht darin liegt, sonderrn erst bei 1?

12.04.2018, 16:19

HAL 9000

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Zunächst mal muss dieser verknotete Symbolmüllhaufen in eine sinnvolle Gestalt gebracht werden. Ich nehme mal an, du meinst da

$\begin{eqnarray*} X = \left\{ (x,y) \in \mathbb R^2: y = \sin\left(\frac{1}{x}\right); x \in \left(0, \frac{1}{\pi}\right) \right\} \end{eqnarray*}$ .

12.04.2018, 16:20

Mathestudent500

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Ja genau. Tut mir leid.
Stimmen meine Überlegungen?

12.04.2018, 16:24

HAL 9000

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Falls es um die übliche euklidische Topologie hier geht, dann stimme ich dir zu, dass das Innere von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ leer ist.

Und dann noch: Was meinst du mit $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

12.04.2018, 16:27

Mathestudent500

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Ich habe mich verschrieben. Es soll X diese Menge sein.
Sorry nochmals Big Laugh

Big Laugh

unglücklich

Beim Beweis dafür, geht da meine Idee in die richtige Richtung?

12.04.2018, 16:40

HAL 9000

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Das hat gar nichts mit der Oszillation zu tun: Der Graph $\begin{eqnarray*} A = \left\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2:\; x\in I;y=f(x)\right\} \end{eqnarray*}$ einer jeden reellen Funktion $\begin{eqnarray*} f:\;I\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} I\subseteq\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ besitzt keine inneren Punkte in der euklidischen $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ -Topologie:

Für $\begin{eqnarray*} (x,y)\in A \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} y+h\neq f(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} h\neq 0 \end{eqnarray*}$ , folglich auch $\begin{eqnarray*} (x,y+h)\not\in A \end{eqnarray*}$ . Nun findet sich aber für jede Umgebung von $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} h\neq 0 \end{eqnarray*}$ , das klein genug ist, damit $\begin{eqnarray*} (x,y+h) \end{eqnarray*}$ in dieser Umgebung liegt...

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12.04.2018, 18:17

Mathestudent500

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Du meinst die Umgebung (x,y+h) liegt in (x,y)?
Wieso folgt, dann das es keine inneren Punkte gibt verwirrt

verwirrt

12.04.2018, 18:52

HAL 9000

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furchtbarer Unfug

Zitat:

Original von Mathestudent500
Du meinst die Umgebung (x,y+h) liegt in (x,y)?

Toll, dass du meinen Satz nimmst, die Worte durcheinanderwirfst, neu anordnest und dann denkst, dabei kommt was vernünftiges raus. unglücklich

unglücklich

12.04.2018, 19:20

Mathestudent500

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RE: furchtbarer Unfug
Ich verstehe das einfach gerade nicht. Wie ist der letzte Satz gemeint ? unglücklich

unglücklich

12.04.2018, 22:06

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ ist ein Punkt in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ , der in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ liegt. Und $\begin{eqnarray*} (x,y+h) \end{eqnarray*}$ ist dann auch ein Punkt in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ , der aber nicht in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ liegt. Was ist denn daran nicht zu begreifen? unglücklich

unglücklich

12.04.2018, 23:24

Mathestudent500

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Und wie folgert man dann daraus, dass es keine inneren Punkte geben kann?

12.04.2018, 23:39

HAL 9000

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Dieses $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ ist nur dann innerer Punkt von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , wenn es eine $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung von $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ gibt, die vollständig in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ liegt (d.h. eine Teilmenge davon ist). Diese Umgebung ist ja

$\begin{eqnarray*} U_{\varepsilon}(x,y) = \left\{ (x',y') \mid (x-x')^2+(y-y')^2<\varepsilon^2 \right\} \end{eqnarray*}$ .

Und du bist wirklich nicht in der Lage, nach all den ausführlichen Darlegungen oben zu erkennen, dass es in jeder solchen $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung auch Punkte gibt, die nicht in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ liegen? unglücklich

unglücklich

13.04.2018, 08:53

Mathestudent500

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Ok jetzt habe ich es smile

smile

Wenn ich den Rand der Menge X bestimmen will. Dann sind es doch die Punkte, die in einer solchen Umgebung liegen und mit dem Schnitt der Menge und dem Komplement nicht die leere Menge bilden.
D.h das wäre doch die Menge X selbst. Ich weis nicht, ob die y -achse da noch dazugehört zwischen 1 und -1?

13.04.2018, 09:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathestudent500
Ok jetzt habe ich es smile

smile

Wenn ich den Rand der Menge X bestimmen will. Dann sind es doch die Punkte, die in einer solchen Umgebung liegen und mit dem Schnitt der Menge und dem Komplement nicht die leere Menge bilden.

Irgendwie grausam, wie du die Dinge immer so umformulierst, dass sie sinnentstellt werden. Ein Punkt gehört genau dann zum Rand der Menge, wenn jede Umgebung dieses Punktes sowohl Punkte der Menge als auch Punkte des Komplements der Menge enthält - das ist ganz was anderes, als das was du da gerade erzählt hast.

Bei einer Menge, deren Inneres leer ist, gehört jeder Mengenpunkt selbst schon mal zum Rand derselben Menge, aber ggfs. auch noch mehr Punkte - das gilt es hier zu untersuchen.

Zitat:

Original von Mathestudent500
Ich weis nicht, ob die y -achse da noch dazugehört zwischen 1 und -1?

Endlich mal ein Lichtblick, zumindest was die Intuition betrifft. Ja, diese Menge $\begin{eqnarray*} \{0\}\times [-1,1] \end{eqnarray*}$ gehört auch noch zum Rand, was du nachweisen kannst, indem du zeigst, dass jede $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung eines Punktes $\begin{eqnarray*} (0,y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} -1\leq y\leq 1 \end{eqnarray*}$ auch Punkte von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ enthält.

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[attach]46889[/attach]

13.04.2018, 13:20

Iceman94

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@HAL 9000: Also das hat jetzt zwar nichts mit dem Thema zu tun, aber da ich dich jetzt schon in ein paar Threads immer auf die gleiche Art schreiben gesehen hab, muss ich doch einfach mal direkt fragen: bist du eigentlich hier, um Leuten weiterzuhelfen oder einfach nur um deine „Weisheit“ zur Schau zu stellen und Leute möglichst herablassend zu kritisieren, wenn sie etwas falsch machen/nicht verstehen?
Falls tatsächlich Ersteres der Fall ist, hier mal etwas konstruktive Kritik:
Man kann den Leuten auch einfach schreiben, WAS sie falsch gemacht haben und WARUM. Im Gegensatz dazu, x mal darauf hinzuweisen, wie unheimlich falsch die Person mit dieser oder jener Aussage ist und wie offensichtlich das Gesagte ja ist, hätte das nämlich tatsächlich auch irgendeinen pädagogischen Sinn. Oder was glaubst du, nimmt der Threadsteller aus Sätzen wie „Und du bist wirklich nicht in der Lage...?“, usw. mit? Kann er daraus irgendetwas lernen? Hilft es ihm weiter zu wissen, dass er es deiner Meinung nach schon längst begriffen haben sollte?
Ich habe mich hier im Forum erst gestern zum ersten Mal richtig umgesehen, aber ich dachte eigentlich, dass es hier darum ginge, untereinander auszuhelfen oder zu diskutieren und nicht darum, das eigene Ego zu streicheln, indem man sich - und vermeintlich auch anderen - zeigt, wie unheimlich toll man ist (bzw. Sich findet) und viel man ja weiß.

13.04.2018, 14:59

Mathestudent500

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Ok ich habe das alles bis hierhin verstanden. Ich muss also zeigen dass ich für Punkte (0,y) mit y zwischen -1 und 1 eine epsilon-Umgebung finden, in der Punkte von x liegen. We finde ich aber mein Epsilon?

13.04.2018, 15:14

HAL 9000

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Eine Idee wäre, vom Punkt $\begin{eqnarray*} (0,y) \end{eqnarray*}$ nach "rechts" vorzustoßen, d.h. zu gegebenem festen $\begin{eqnarray*} y\in [-1,1] \end{eqnarray*}$ dann Punkte $\begin{eqnarray*} (x,y)\in X \end{eqnarray*}$ zu suchen. Offenbar müssen die ja $\begin{eqnarray*} y=\sin\left(\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$ erfüllen, da können wir aufgrund der $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -Periodizität der Sinusfunktion beispielsweise $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ nehmen mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x_k} = \arcsin(y) + 2k\pi \end{eqnarray*}$ , umgestellt haben wir also

$\begin{eqnarray*} (x_k,y)\in X \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_k = \frac{1}{\arcsin(y) + 2k\pi} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k=1,2,\ldots \end{eqnarray*}$ .

Offenkundig haben wir da $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty} (x_k,y) = (0,y) \end{eqnarray*}$ , und folglich $\begin{eqnarray*} (0,y)\in\overline{X} \end{eqnarray*}$ . Bei letzterem wird genutzt, dass die Existenz einer konvergenten Folge $\begin{eqnarray*} (x_k,y_k)\to (x^*,y^*) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (x_k,y_k)\in X \end{eqnarray*}$ ebenfalls ein Kriterium dafür ist, dass $\begin{eqnarray*} (x^*,y^*) \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \overline{X} \end{eqnarray*}$ gehört.

13.04.2018, 22:52

Mathestudent500

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Das habe ich denke ich verstanden.Um auf deine Folge x_k zu kommen, hast du die gegebene Funktion wsl einfach umgestellt damit man dann für die y zwischen -1 und 1, Punkte (x,y) findet die wieder in der Menge liegen. Ist das s Argument mit der Existenz der Folge dann überhaupt noch nötig?

Aus Interesse was könnte man zur Abgeschlossenheit der Menge sagen?
Dafür muss doch das Komplement offen sein.
Das Komplement wäre doch R^2\X. Die Frage ist, wie man dieses Gebiet dann auf Offenheit testet. verwirrt

verwirrt

13.04.2018, 23:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathestudent500
Aus Interesse was könnte man zur Abgeschlossenheit der Menge sagen?

Da nicht alle Elemente ihres Randes zur Menge X gehören, kann sie auch nicht abgeschlossen sein.

Nochmal zusammengefasst:

Inneres: $\begin{eqnarray*} X^{\circ} = \emptyset \end{eqnarray*}$

Abschluss: $\begin{eqnarray*} \overline{X} = X \cup (\{0\}\times [-1,1]) \end{eqnarray*}$

Rand: $\begin{eqnarray*} \partial X = \overline{X} \setminus X^{\circ} = \overline{X} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X \neq X^{\circ}\;\Rightarrow\; X \end{eqnarray*}$ nicht offen

$\begin{eqnarray*} X \neq \overline{X}\;\Rightarrow\; X \end{eqnarray*}$ nicht abgeschlossen

14.04.2018, 08:30

Mathestudent500

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Danke dir

smile

Wie du siehst, bin ich in diesem Thema noch nicht allzu bewandert.
Kann ich dich trotzdem noch was fragen:
Wenn ich eine vermeintliche Metrik wie folgt erkläre: $\begin{eqnarray*} d: \mathbb R^2 \times \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$
Mit $\begin{eqnarray*} d(x,y)=|x_1-y_1| |x_2-y_2| \end{eqnarray*}$
Dann handelt es sich um keine Metrix denn für $\begin{eqnarray*} (1,0) \ne (0,0) \end{eqnarray*}$ ist d(....)=0
Aber darf man die Punkte überhaupt so vergleichen wie in R.
Wsl nicht, da der R^2 nicht vollständig ist.?

14.04.2018, 08:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathestudent500
Mit $\begin{eqnarray*} d(x,y)=|x_1-y_1| |x_2-y_2| \end{eqnarray*}$
Dann handelt es sich um keine Metrix denn für $\begin{eqnarray*} (1,0) \ne (0,0) \end{eqnarray*}$ ist d(....)=0

So ist es.

Zitat:

Original von Mathestudent500
Wsl nicht, da der R^2 nicht vollständig ist.?

Was bedeutet "wsl" ? Und wieso soll der $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ nicht vollständig sein? Mit der euklidischen Metrik versehen ist er es.

14.04.2018, 08:59

Mathestudent500

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Ach ja stimmt smile

smile

smile

Wenn wir gerade bei Metriken sind, wenn ich das Standardbeispiel der diskreten Metrik nehme, ist es einfach nachzuweisen, dass diese die geforderten Eigenschaften erfüllt.
Die Frage ist, wie diese aussieht?
Wenn ich mal ganz einfach die offene Kugel B(0,1). Dann wäre diese leer?

14.04.2018, 13:10

Mathestudent500

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Die diskrete Metrik ist doch die Gerade y=1 ohne (1,1) oder nicht?

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