Abbildungsmatrix hoch 10

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April.12 Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungsmatrix hoch 10
Meine Frage:
Hallo,

meine Aufgabe lautet:
Berechnen Sie Darstellungsmatrix und wenden Sie dieses Ergebnis an, um zu berechnen.





Meine Ideen:
Die Matrizen habe ich schon ausgerechnet.



Meine Frage ist, wie bekomme ich und

Soll ich dann einfach Potenzgesetze anwenden(
oder gibt es einen anderen Weg?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ich sehe da zwei Möglichkeiten:

(1) Stures Rechnen, bis man evtl. etwas erkennt. Manche Matrizen erfüllen eine Gleichung A^n=A, oder A^n=0.

(2) Falls ihr das schon hattet: diagonalisieren? Wenn man mit D diagonal schreiben kann, dann folgt - und Diagonalmatrizen sind leicht zu potenzieren Augenzwinkern

Ich würde ruhig mal unterschiedliche Potenzen von A und B durch wolframalpha berechnen lassen, um dem Phänomen auf die Spur zu kommen und eine Vermutung zu entwickeln, was dahinterstecken könnte.
(Syntax: zB {{-2,-4,0},{1,0,4},{1,4,0}}^5 )

In welchem Zusammenhang die Matrizen A und B miteinander stehen, weiß ich leider nicht. Invers sind sie jedenfalls wohl nicht zueinander.

LG
sibelius84

PS: Bei A erkennt man auf Anhieb, dass +2 und -2 Eigenwerte sind, und e2 ein Eigenvektor zum Eigenwert 2.
April.12 Auf diesen Beitrag antworten »

vielen Dank für Antwort.

in a) sollte ich zwei Darstellungsmatrizen berechnen: A(f) und B(f) bzgl. Basen A und B

A=(e1,e2,e3) also

B=(v1,v2,v3)

f: R^3---->R^3, mit ---->


in b) Berechnen Sie Darstellungsmatrix B^10 und wenden Sie dieses Ergebnis an, um A^10 zu berechnen.


diagonalisieren? habe ich noch nicht
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht war deine Idee vom Anfang doch die beste, einfach zB rechnen. Das sind insgesamt vier Matrixmultiplikationen, das kriegt man hin. A^10 erhältst du dann, indem du B^10 als Abbildungsmatrix B(g) einer Abbildung g bzgl. der Basis auffasst und dann 'zurückübersetzt' in die Basis (also die Matrix A(g) bestimmst).
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von April.12
in a) sollte ich zwei Darstellungsmatrizen berechnen: A(f) und B(f) bzgl. Basen A und B

Ok, Matrix geht direkt aus der Definition von hervor. Mit der Transformationsmatrix lautet die Darstellungsmatrix bzgl. der Basis aber nicht (wie von dir anscheinend gerechnet), sondern .

Damit sollte sich der Nebel in b) gründlich lichten, und der Sinn der Aufgabe deutlich hervortreten. smile
April.12 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das fasse ich mal so auf, dass dir jetzt klar ist, wie aus (dem nunmehr leicht berechenbaren) hervorgeht. Augenzwinkern
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