Grenzwert im Mehrdimensionalen

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Mario2000 Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert im Mehrdimensionalen
Meine Frage:
Guten Tag,
Ich weiss nicht wie man den Grenzwert im Mehrdimensionalen Bereich im R^2 beweist. Mir ist klar, wie man beweist kann, das der Grenzwert nicht existiert.
Die Aufgabe ist zz: Das der Grenzwert für die Funktion existiert




Meine Ideen:
Die Totalableitung sagt aus, das der Grenzwert aus jeder Richtung der gleiche Wert hat.
Ich kann nicht beweisen, das aus jeder Richtung der gleiche ist, weil es "unentlich" Möglichkeiten gibt. Also brauche ich einen anderen Satz oder Methodik.
Was mir prinzipiel bei der Aufgefallen ist, ist das die Exponten vom x und y beide grösser als 2 sind. Weshalb intuitiv die Funktion in Punkt Null stetig ist.
====> Ich bin auf der Suche nach einem Satz oder Methode die ich auf diese und ähnliche Aufgaben anwenden kann. <====
phil998 Auf diesen Beitrag antworten »

Stichwort: Epsilon-Delta-Kriterium, wobei du für den bildbereich einfach den reellen Betrag nimmst und für den Wertebereich eine beliebige Norm.....
Mario2000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Epsilon-Delta-Kriterium:


Und da f die Funktion


Im Moment stehe ich hier:


Ich bin mir nicht Sicher, aber muss ich noch das Delta in Relation zu Epsilon setzen und wenn wie?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

die Behauptung ist ja, dass man d(f(x,y),0)<eps bekommen kann. Damit solltest du anfangen. Wie phil998 schon sagte: Der Abstand auf den reellen Zahlen ist einfach der gewöhnliche Betrag. Also

. Dies musst du nun abschätzen, d.h. schauen, wie groß der Zähler, und wie klein der Nenner schlimmstenfalls werden kann, positive Summanden im Nenner gegebenenfalls weglassen, ... kennst du das ein bisschen? Dann könntest du schnell auf einen relativ einfachen Ausdruck wie |x^3y^3| oder |xy^5| kommen, der dann ohnehin schon gegen 0 läuft.
(Genau argumentiert: Wähle für d((x,y),(0,0)) im Urbildraum z.B. den Maximums-Abstand . Wenn der kleiner als delta ist, dann ist |x| < delta und |y| < delta, also die obigen Ausdrücke jeweils . Wähle also und er Beweis ist erledigt.)

LG
sibelius84
Mario2000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Abschätzen im R^2 habe ich noch keine Nennenswerten Erfahrungen.
In Analysis 1 hatte ich es schon in R^1 gemacht.

Ich habe das Gefühl 1 sollte okay sein, aber 2 und 3 machen mir Sorgen!


Alle Umformungen sind im Betrag!

1) x=y

2) x>y


3) x<y


Kann mir jemand helfen bei den Umformungen wäre Super Lieb!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Warum willst du dir eine solche Fallunterscheidung antun?

Es geht doch auch einfacher: Es ist , begründbar z.B. mit . Das kann man für die Abschätzung



nutzen, und damit bist du bei

Zitat:
Original von sibelius84
Dann könntest du schnell auf einen relativ einfachen Ausdruck wie |x^3y^3| oder |xy^5| kommen, der dann ohnehin schon gegen 0 läuft.

ganz ohne lästige Fallunterscheidung.
 
 
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Alternativ hilft bei solchen Grenzwerten auch oft eine Transformation in Polarkoordinaten. Du könntest also und setzen und dann den Grenzwert dir anschauen.
Mario2000 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Hilfe hat funktioniert.
Ich hatte das Epsilon Delta für die Aufgabe und die Polarkoordinaten für andere Grenzwertaufgaben benutzt. Wink
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