Konvergenzrate bestimmen |
13.04.2018, 10:28 | LuciaSera | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Konvergenzrate bestimmen Bestimmen Sie jeweils den Grenzwert und die Konvergenzrate der Folge mit a) Also zuerst habe ich mir eben die Folgengleider angeschaut. Für k=0,1,2,... und komme zu meiner Vermutung, dass der Grenzwert 1 ist, weil ja der zweite Summand, welcher von k abhängt, gegen 0 geht. Jetzt habe ich aber ein kleines Problem bei der Bestimmung der Konvergenzrate bzw. bei der Interpretation meiner Ergebnisse sofern diese stimmen. Daraus folgere ich nun: lineare Konvergenz superlineare Konvergenz keine Konvergenz Stimmt das so? Wenn ja, dann sind die anderen aufgaben auch ziemlich klar. |
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13.04.2018, 11:08 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du folgerst also, dass alle drei Eigenschaften "lineare Konvergenz, superlineare Konvergenz und keine Konvergenz" hier zugleich zutreffen? Absurd. Nehmen wir es mal einzeln unter die Lupe:
Richtig, es liegt lineare Konvergenz mit Konvergenzrate vor.
Verstehe nicht, was die Betrachtung des Falls p<1 überhaupt bringen soll. Mit superlinearer Konvergenz hat das m.W. nichts zu tun, deswegen stimmt deine Schlussfolgerung auch nicht.
Ebenfalls die falsche Schlussfolgerung: Das Ergebnis der Rechnung ist so zu interpretieren, dass hier keine Konvergenz zu einer Ordnung vorliegt. Auch diese Rechnung hättest du hier aber sparen können: Da die Konvergenzrate oben bei der Rechnung der linearen Konvergenz echt positiv war (also nicht nur c=0), kam eine Konvergenzordnung >1 eh nicht in Frage. |
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13.04.2018, 11:23 | LuciaSera | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Heißt das also, dass sobald ich eine Konvergenzrate gefunden habe, ich keine weitere mehr suchen muss? Ich dachte, dass ich nun zwar eine Konvergenzrate für p=1 gefunden habe, aber woher weiß ich nun, ob meine Folge nicht besser als "nur" linear konvergiert? Daher dachte ich, dass ich noch die beiden anderen Fälle betrachten müsste. |
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13.04.2018, 11:34 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Zuerst die lineare Konvergenz überprüfen: Vorausgesetzt, der Grenzwert existiert überhaupt, gibt es folgende Fälle a) : Keine Konvergenz gegen . b) : Unklar, ob überhaupt Konvergenz gegen vorliegt. Falls ja, dann jedenfalls nur sublinear. c) : Lineare Konvergenz, und es geht auch nicht besser. d) : Superlineare Konvergenz. Hier und nur hier lohnt sich die Untersuchung, ob nicht auch noch eine höhere Konvergenzordnung vorliegt. Notwendig dazu ist, dass beschränkt bleibt, z.B. der Grenzwert für (als endlicher Wert) existiert. Außen vor bei dieser (einfachen) Auflistung ist der Fall, dass der Grenzwert gar nicht existiert. Auch dort kann noch alles mögliche passieren. |
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13.04.2018, 12:03 | LuciaSera | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nun wird mir einiges klarer! Danke für diese super Erklärung! Ich habe es gleich versucht am nächsten Beispiel anzuwenden: b) Also ich habe mir wieder die Folgenglieder angesehen und komme wieder auf meinen vermuteten Grenzwert 1, da k! immer größer und somit der Kehrwert davon 0 wird. Nun prüfe ich zuerst lineare Konvergenz für : Für . Das heißt doch nun, dass superlineare Konvergenz vorliegt und ich nun auch untersuchen muss, wenn ich das richtig verstanden habe, also: Für . (bin mir gerade nicht zu 100% sicher, da ja k! viel viel schneller gegen geht, als gegen 0.) Falls c=0 für p>1 ist: Heißt das nun einfach nur, dass es höhere Konvergenzordnungen gibt als p=1 oder kann ich genauere Aussagen darüber treffen? Falls für p>1 ist: Da notwendig ist, dass der Grenzwert für existiert, ist diese Aussage ja dann sozusagen hinfällig oder? Die Folge bleibt aber trotzdem superlinear für p=1 oder? |
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13.04.2018, 12:45 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das stimmt erstmal soweit.
"Nicht zu 100%" ist gut, denn es ist falsch: Es gilt z.B. die Abschätzung , aus der folgt dann für alle die Abschätzung , woraus man unmittelbar auf schließen kann. D.h., die Konvergenz ist zwar superlinear, es liegt aber dennoch keine Konvergenzordnung >1 vor. |
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13.04.2018, 13:07 | LuciaSera | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sprich die Konvergenzordnung bleibt p=1 mit superlinearer Konvergenz? Und das letzte Beispiel: c) Wieder Grenzwert 1. Und weiters: Für p=1 folgt c=0. Also untersuche ich wieder p>1: meine Folge konvergiert superlinear mit Konvergenzrate c=1 und Konvergenzordnung p=2 oder? |
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13.04.2018, 13:59 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Konvergenzordnung 2 ist korrekt. |
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