Operatornorm berechnen

13.04.2018, 18:31

dsafad

Operatornorm berechnen

Hi, ich soll die Abbildungsnorm folgender der Abbildung A_1: R^2->R^2, in 2 kreuz 2 Matrixdarstellung: A_1=(2,-1;0,1) (der Strichpunkt steht für den Zeilenumbruch) berechnen.
Der Ausgangsraum ist mit der d-unendlich Metrik versehen, der Zielraum mit d1.
Kann ich die Abbildungsnorm überhaupt genau bestimmen? (ohne Technologie)

Ich konnte sie nur nach oben mit 4 abschätzen)

13.04.2018, 19:45

10001000Nick1

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Schreib dir erstmal die Definition der gesuchten Norm hin und versuche, das so weit wie möglich ausrechnen.

14.04.2018, 09:23

dsafad

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[attach]46895[/attach]

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}= (2x-y, y)\rightarrow||Ax||_1=|2x-y|+|-y|+|y|\le2|x|+2|y|\le4 \max\{|x|,|y|\}=4||x||_\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}=(-2x+2z)\rightarrow||Ax||_1=|-2x+2z|\le2|x|+2|z|\le4\max\{|x|,|z|\}=4||x||_\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5\\0\\1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\end{pmatrix}=(5x,0,x)\rightarrow||Ax||_1=|5x|+|x|=6||x||_\infty \end{eqnarray*}$

Kann das so stimmen oder ist das komplett daneben? Hammer

14.04.2018, 16:28

10001000Nick1

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Erstmal die erste Aufgabe:
Die Operatornorm ist definiert als $\begin{eqnarray*} \|A\|:= \sup_{(x,y)\neq 0} \frac{\|A(x,y)\|_1}{\|(x,y)\|_\infty} \end{eqnarray*}$ . Du hast gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \frac{\|A(x,y)\|_1}{\|(x,y)\|_\infty}\leq 4 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} (x,y)\neq (0,0) \end{eqnarray*}$ gilt. Wenn du also einen Vektor findest, für den dieser Term gleich 4 ist, bist du fertig.

Zitat:

Original von dsafad
$\begin{eqnarray*} ||Ax||_1=|2x-y|+|-y|+|y| \end{eqnarray*}$

Noch ein Hinweis: Du musst dich entscheiden, ob du deinen Vektor mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bezeichnest (und seine Einträge dann z.B. mit $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ), oder ob $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ der erste Eintrag des Vektors ist.
(Außerdem gehört der Summand $\begin{eqnarray*} |-y| \end{eqnarray*}$ da nicht hin.)

14.04.2018, 20:22

dsafad

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Ok, was genau meinst du mit "einen Vektor finden"?
Also wie berechne ich mir den Wert von A(x,y) für gegebenes x und y?

14.04.2018, 20:39

10001000Nick1

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Zitat:

Original von dsafad
Also wie berechne ich mir den Wert von A(x,y) für gegebenes x und y?

Das hast du doch hier schon ausgerechnet:

Zitat:

Original von dsafad
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}= (2x-y, y) \end{eqnarray*}$

(Mir fällt gerade auf: In meinem letzten Beitrag musst du überall $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ ersetzen; und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ muss ein Spaltenvektor sein, damit man den von rechts an die Matrix multiplizieren kann.)

15.04.2018, 15:05

dsafad

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Ich verstehe nicht ganz was ich deiner Meinung nach noch "finden muss", damit ich fertig bin?
Könntest du mir das anhand von bsp a (oder b oder c) zeigen?

Mfg

16.04.2018, 11:57

10001000Nick1

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Mit deiner Rechnung oben hast du doch nur gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \left\|A_1 \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\right\|_1 \leq 4 \left\|\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\right\|_\infty \end{eqnarray*}$ ; also $\begin{eqnarray*} \|A_1\| \leq 4 \end{eqnarray*}$ .
Es könnte doch aber sein, dass du "zu grob" abgeschätzt hast, und dass tatsächlich z.B. $\begin{eqnarray*} \left\|A_1 \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\right\|_1 \leq 3\left\|\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\right\|_\infty \end{eqnarray*}$ gilt.

Erst, wenn du einen Vektor findest, für den in obiger Ungleichung Gleichheit gilt, kannst du sagen, dass $\begin{eqnarray*} \|A_1\|=4 \end{eqnarray*}$ ist.

Wie du einen solchen Vektor findest: Es ist doch $\begin{eqnarray*} \left\|A_1 \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\right\|_1= |2x-y|+|y| \end{eqnarray*}$ . Wenn du dich auf Vektoren mit $\begin{eqnarray*} \left\|\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\right\|_\infty=1 \end{eqnarray*}$ beschränkst, suchst du also Zahlen $\begin{eqnarray*} x,y\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x|, |y|\leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |2x-y|+|y|=4 \end{eqnarray*}$ .
Probiere einfach mal ein bisschen aus, wie du $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ wählen musst.

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