Inverse Interpolation

14.04.2018, 12:26	dubbox	Auf diesen Beitrag antworten »
Inverse Interpolation Meine Frage: Gegeben sei die Funktion $\begin{eqnarray} f:\left[0.1\right] \rightarrow\left[-1,\frac{3}{4}\right]:f(x)=x^2-\frac{1}{4^x} \end{eqnarray}$ . (a) Zeigen Sie, dass die Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eine Inverse Funktion besitzt. (b) Berechnen Sie das Newtonsche Interpolationspolynom vom Grad 2 zur Inversen Funktion von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . Verwenden Sie dabei die Stützstellen $\begin{eqnarray} x_0 = 0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x_1 = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 = 1 \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Zur (a) Das bekomme ich noch gut hin denke ich. Ich zeige das $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ streng monoton ist. Es gilt $\begin{eqnarray} f(0)=-1, f(1)=\frac{3}{4} \end{eqnarray}$ Für alle x,y mit $\begin{eqnarray} x,y \in (0,1) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x<y \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} x^2<y^2 \land \frac{1}{4x} > \frac{1}{4y} \end{eqnarray}$ woraus unmittelbar folgt, dass $\begin{eqnarray} x^2 - \frac{1}{4x} < y^2 - \frac{1}{4y} \end{eqnarray}$ . Hier mit und mit den Beiden Randwerten, folgt sofort, dass die Funktion streng monoton steigend ist. Hieraus folgt wiederum das die Funktion eine Inverse Funktion besitzt. Zur (b) Das Polynom könnte ich berrechen, sofern ich die Inverse Funktion hätte, meine Frage jetzt ist, gibt es hier ein gewisses Schema oder ähnliches mit dem ich diese bestimmen kann? Auf Anhieb würde ich das wie folgt probieren: $\begin{eqnarray} y = x^2-\frac{1}{4^x} \end{eqnarray}$ und dann umstellen, das bringt mich aber nicht wirklich zu einem Ergebnis, da ich das Problem mit der blöden x-ten Wurzel habe.
14.04.2018, 12:46	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
a) ist korrekt. Zu b) Du brauchst die inverse Funktion doch nur an den genannten Stützstellen! Und wegen $\begin{eqnarray} f(0)=-1,\;f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4},\;f(1)=\frac{3}{4} \end{eqnarray}$ sind das die Stützstellen $\begin{eqnarray} f^{-1}(-1)=0,\;f^{-1}\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2},\;f^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)=1 \end{eqnarray}$ .
14.04.2018, 13:29	dubbox	Auf diesen Beitrag antworten »
(b) So einfach kanns sein danke dachte mir schon ich mache da doch was falsch Damit die Aufgabe hier komplett steht, rechne ich grade nochmal hier das Polynom aus. $\begin{eqnarray} x_0 = -1 , y_0 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1 = -\frac{1}{4} , y_1 = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2 = \frac{3}{4} , y_2 = 1 \end{eqnarray}$ Damit folgt $\begin{eqnarray} f_{x_0,x_1} =\frac{\frac{1}{2}-0}{-\frac{1}{4}+1}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}=\frac{2}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{x_1,x_2} =\frac{1-\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{x_0,x_1,x_2} =\frac{\frac{1}{2}-\frac{2}{3}}{\frac{3}{4}+1}=\frac{-\frac{1}{6}}{\frac{7}{4}}= -\frac{2}{21} \end{eqnarray}$ Somit folgt für das Newtonsche Interpolationspolynom $\begin{eqnarray} \gamma_0 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \gamma_1 = \frac{2}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \gamma_2 = -\frac{2}{21} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p_n(x)= \gamma_0 +\gamma_1(x-x_0)+\gamma_2(x-x_0)(x-x_1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P_n(x)=0 + \frac{2}{3}(x+1)+-\frac{2}{21}(x+1)(x+\frac{1}{4}) \end{eqnarray}$ Hoffe das das richtig ist.

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