Untergruppe einer abelschen Gruppe

14.04.2018, 15:11

Chro56945

Untergruppe einer abelschen Gruppe

Meine Frage:
Die Aufgabe lautet: (E im folgenden "Element")
Sei G eine abelsche Gruppe und U:={gEG I ord(g) (kleinergleich) 2}
(i) zz: U eine Untergruppe von G
(ii)Sei nun zusaetzlich die Anzahl der Elemente von G endlich. Zeigen Sie, dass

(Produktzeichen)g = (Produktzeichen) g
mit den jeweiligen Laufindexen gEG

Meine Ideen:
... ich stehe komplett auf dem Schlauch

bei (i) muss ich ja zeigen, dass
a) U ist nicht leer
b) Ist uEU, so ist auch u^-1EU
c) Sind u,vEU, so ist auch u·vEU

Da die Untergruppe höchstens die Ordnung 2 hat, kann es auch hächstens 2 Elemente besitzen: das neutrale Element e und a. Das Inverse von a muss auch nethalten sein, es kann aber nicht das neutrale Element sein, also ist a^-1=a, aa=e.

Ich weiß aber leider nicht, wie ich das jetzt angehen soll, könnte mir jemand einen Ansatz geben?

14.04.2018, 16:26

g4lois

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Zitat:

Da die Untergruppe höchstens die Ordnung 2 hat

Das stimmt nicht. Die Ordnung der Gruppenelemente ist höchstens 2.

$\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist offensichtlich nicht leer, weil $\begin{eqnarray*} e \in U \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} ord(g) = 2 \end{eqnarray*}$ für die übrigen Elemente, ist jedes Element zu sich selbst invers. Du musst noch zeigen, dass für zwei Elemente $\begin{eqnarray*} g_1, g_2 \end{eqnarray*}$ die Forderung $\begin{eqnarray*} ord(g_1g_2) \le 2 \end{eqnarray*}$ gilt, also $\begin{eqnarray*} (g_1g_2)^2 = e \end{eqnarray*}$ . Dazu brauchst du die Kommutativität.

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