Stetige Abbildungen

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lisasophie0815 Auf diesen Beitrag antworten »
Stetige Abbildungen
Meine Frage:
1.Seien (Xi,Ti), i= 1,2 topologische Räume und B2 eine Basis für T2. Zeigen sie: Eine Abbildung f: X1 ?? X2 ist genau dann stetig, wenn für jedes B2 E B2 das Urbild f^-1.(B2) in T1 ist.

2. Sei X=(0, unendlich) und f: X ?? X, f(x)= x^2. Zeigen sie, dass f stetig ist. Finden sie eine nichttriviale Topologie auf X, sodass nicht stetig ist.

3. Sei E eine nichtleere, echte Teilmenge eines topologischen Raumes X. Zeigen Sie, dass die charakteristische Funktion XE genau dann stetig ist, falls E offen und abgeschlossen in X ist.

Meine Ideen:
f(x)= x^2 auf Stetigkeit untersuchen. Sei E>0, Delta > 0, |x-y| < E ...
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo lisasophie,

epsilon-delta funktioniert in den reellen Zahlen, im , in normierten und auch noch in metrischen Räumen - aber in topologischen Räumen kommst du damit leider nicht mehr weit, weil es das da in dieser Form gar nicht gibt. (Topologie ist doch "Mathematik ohne Zahlen" Augenzwinkern ) Bereits über den reellen Zahlen usw. gibt es aber auch noch das Umgebungskriterium. In topologischen Räumen wird dies nun zur Definition erhoben:

In topologischen Räumen heißt f: X->Y stetig in , wenn für jede Umgebung V Y von die Urbildmenge eine Umgebung von ist. (Wenn dies für alle möglichen x_0 gilt, so heißt f stetig.)

Bei 1. geht es nun darum, zu beweisen, dass für Stetigkeit bereits ausreicht, wenn die Urbilder einer Basis offen in X_1 sind. Also nicht mehr jede mögliche Umgebung jedes , sondern nur noch ein vorab festgelegter Haufen offener Mengen mit der Eigenschaft (Basis!), dass sich jede offene Menge von Y aus diesen zusammenvereinigen lässt. Mit dieser Eigenschaft kann man leicht zeigen, dass das Umgebungskriterium gilt.

Bei 2. geht es wohl darum, 1. anzuwenden (oder für den ersten Teil geschickt aus deiner Ana-1- bzw. Ana-2-Vorlesung zu zitieren, aber das wäre wohl ein wenig 'geschummelt' Teufel ). Für eine nichttriviale Topologie für den zweiten Teil betrachte zunächst die triviale indiskrete / chaotische Topologie mit nur der leeren Menge und X darin. (Um wenig Stetigkeit zu bekommen, sollte die Topologie wenige offene Mengen enthalten.) Die ist verboten, weil trivial. Nun, dann tu doch einfach zB noch das Intervall (4,9) dazu. Das müsste dann sogar schon eine dreielementige Topologie sein, oder vertue ich mich da? Es selbst ist dann offen per Definition, aber sein Urbild (2,3) nicht.

Soweit, so gut - über 3 können wir immer noch später reden Engel

LG
sibelius84
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