Atlas

14.04.2018, 15:40	Silencium92	Auf diesen Beitrag antworten »
Atlas Hallo, ich habe eine Frage zu der folgenden Aufgabe: For $\begin{eqnarray} p \in \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ and $\begin{eqnarray} \phi \in \mathbb R \end{eqnarray}$ we define a chart on $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ by $\begin{eqnarray} x_{p,\phi}: U_{p,\phi}\to V_{p,\phi} \end{eqnarray}$ where $\begin{eqnarray} U_{p,\phi} = \mathbb R^2 \setminus \{p+(r\cos \phi,r\sin\phi)\|r\leq 0\} \end{eqnarray}$ and $\begin{eqnarray} V_{p,\phi}= (0,\infty)\times (\phi, \phi+2\pi) \end{eqnarray}$ and $\begin{eqnarray} (x_{p,\phi})^{-1}(p,\phi)= p+(\rho \cos\phi,\rho \sin\phi) \end{eqnarray}$ . Show that $\begin{eqnarray} A = \{x_{p,\phi}: U_{p,\phi}\to V_{p,\phi} \| p\in \mathbb R^2 , \phi \in \mathbb R\} \end{eqnarray}$ is an $\begin{eqnarray} C^\infty - \end{eqnarray}$ Atlas for $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ . Ansatz: - Es muss erstmal gezeigt werden, dass A ein Atlas ist $\begin{eqnarray} \text{A ist ein Atlas} \Leftrightarrow \cup_{i\in I} (U_{p,\phi})_i =\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ wobei I eine Idexmenge ist. Die Menge $\begin{eqnarray} U_{p,\phi} \end{eqnarray}$ ist doch anschaulich die ganze Ebene in der eine Gerade fehlt. Wählt man also $\begin{eqnarray} U_{p_1,\phi_1},U_{p_2,\phi_2} \end{eqnarray}$ mit unterschiedlichen p,phi, so ergibt die Vereinigung den ganzen $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ - $\begin{eqnarray} C^\infty - \end{eqnarray}$ Atlas hatten wir so definiert: zwei beliebige Karten in A müssen kompatibel sein (siehe Definition 1 im Anhang). $\begin{eqnarray} x^{-1} \end{eqnarray}$ ist vorgeben, wie soll ich aber $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ definieren, sodass $\begin{eqnarray} y\circ x^{-1} \end{eqnarray}$ ein C unendlich diffeomorphimus ist.

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