Gleichmäßige Stetigkeit

14.04.2018, 16:49	Kathreena	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmäßige Stetigkeit Ist die Funktion gleichmäßig Stetig ? $\begin{eqnarray} f:\left\{ {(x,y)\in \mathbb R^2:x^2+y^2\leq 1}\right\} \rightarrow \mathbb R,f(x,y)=(x^4+1)^{y^3+sin(x)} \end{eqnarray}$ Meine Idee: Definition: $\begin{eqnarray} \forall \epsilon > 0:\exists \delta = \delta(\epsilon)>0:\forall x,y \in D:\|x-y\|< \delta \Rightarrow \|f(x)-f(y)\|< \epsilon \end{eqnarray}$ Habs zuerst umgeschrieben. $\begin{eqnarray} f(x,y)=(x^4+1)^{y^3} \cdot (x^4+1)^{sin(x)} \end{eqnarray}$ Aber ich glaube mit $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ komm ich da nicht weiter. also muss ich wohl schaun ob f(x,y) stetig ist und die Definitionsmenge beschränkt und abgeschlossen ist ? Und daraus Gleichmäßige Stetigkeit schließen. Also f(x,y) ist Stetig, weils einfach nur eine Multiplikation aus Elementaren Funktionen ist und $\begin{eqnarray} (x^4+1)>0, \forall x \end{eqnarray}$ . Die Definitionsmenge ist ein Kreis, mit Radius 1, und der ist abgeschlossen. Also es existiert ein Rand der Menge. Und beschränkt sowieso. Also gleichmäßig Stetig. So richtig ?
14.04.2018, 20:24	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ich denke, du solltest die Funktion umschreiben zu $\begin{eqnarray} f(x,y)=\exp((y^3+\sin(x))\ln(x^4+1)) \end{eqnarray}$ und dann ist es ungefähr so, wie du sagst, ja: Es geht um eine Anwendung des Satzes "Stetige (reellwertige) Funktionen auf kompakten Mengen sind sogar gleichmäßig stetig und nehmen Maximum und Minimum an." Was du gemacht hast, hört sich sehr gut an! Ich würde nur nicht sagen, es existiert ein Rand, sondern der Rand ist in der Menge enthalten. Davon abgesehen sehr plausibel LG sibelius84
15.04.2018, 13:54	Kathreena	Auf diesen Beitrag antworten »
super danke.

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