Integral mit Normalenvektor

14.04.2018, 23:38	alina94	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral mit Normalenvektor Hey, ich komme gerade bei der folgenden Integralgleichung nicht weiter: $\begin{eqnarray} \int_\Gamma \! v \cdot n \, ds = \int_{0}^{\sqrt{r^2 + c^2(r)}} \! w\tau \, d\tau \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} r ,w> 0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ glatte Funktion, $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ äußerer Normalenvektor, $\begin{eqnarray} v(x) =w\begin{pmatrix} x_2 \\ -x_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Gamma := \{ (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 : 0<x_1<r,\ x_2 = \frac{c(r)}{r}x_1 \} \end{eqnarray}$ . Mein Problem hier ist der Normalenvektor im Integral. Offenbar wird $\begin{eqnarray} \Gamma \end{eqnarray}$ parametrisiert aber ich sehe leider nicht, wie ich das Integral dann so explizit berechnen bzw den Normalenvektor herausstreichen kann. Hat da vielleicht jemand nen Ansatz für mich?
15.04.2018, 00:01	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, am sinnigsten würde man m.E. die Kurve parametrisieren durch $\begin{eqnarray} \gamma(t):=\begin{pmatrix}rt\\c(r)\cdot t\end{pmatrix},\quad 0\leq t \leq 1 \end{eqnarray}$ . Der Tangentialvektor ist $\begin{eqnarray} \gamma'(t)=\begin{pmatrix}r\\c(r)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , und der Normalenvektor entsprechend $\begin{eqnarray} n(t)=\begin{pmatrix}c(r)\\-r\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Also ist $\begin{eqnarray} v\cdot n = \begin{pmatrix}w\cdot c(r)t \\ -w\cdot rt\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}c(r)\\-r\end{pmatrix}=w(c^2(r)+r^2)t \end{eqnarray}$ , und das Integral ergibt sich als $\begin{eqnarray} \int_0^1 w(c^2(r)+r^2)t \, dt \end{eqnarray}$ . Das ist leicht auszurechnen. Die Form von oben bekommt man, wenn man die Substitution $\begin{eqnarray} u(t):=\sqrt{c^2(r)+r^2}t \end{eqnarray}$ durchführt. Aber ich sehe nicht wirklich, wozu das gut sein sollte, und kann auch keine andere naheliegende Parametrisierung der Kurve erkennen, die auf diese Form führen würde. LG sibelius84
15.04.2018, 23:35	alina94	Auf diesen Beitrag antworten »
EDIT (mY+): Vollzitat gelöscht. Bitte zur Antwort nicht voll zitieren, es gibt ausser 'Zitat' auch einen 'Antwort'-Button. Ah natürlich, vielen Dank! Ich bin irgendwie an der Berechnung vom Normalenvektor gehangen. Die explizite Form von oben brauche ich für einen Beweis, das habe ich hier vielleicht etwas aus dem Kontext gerissen.

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