Kugeloberfläche Kartesisch, Doppelintegral

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Joseph_1453 Auf diesen Beitrag antworten »
Kugeloberfläche Kartesisch, Doppelintegral
Meine Frage:
Sallü Miteinander
Ich möchte die Kugeloberfläche kartesisch berechnen, wie mach ich das genau mit den Grenzen und wieso liefert der TR undef. ?

Wir wissen Oberfläche:




Meine Ideen:
In Kugelkoordinaten bekomme ich folgendes über:
T(x,y)= Kugelkoordinaten (r*cos(phi)*sin(theta), ... , r*cos(theta))



Im Kartesischen wähle ich folgende Grenzen:
T(x,y) = (x, y, x^2+y^2) -> (z = x^2+y^2)
-R < x < R
-sqrt(R^2 - x^2) < y < sqrt(R^2 - x^2)

Der Normalenvektor: sqrt(4x^2 + 4y^2 + 1)
Meine Rechnung:

(sollte 4*pi* r^2 geben?)

Auf was sollte ich achten oder wie würde ich auf 4*pi*r^2

Ich danke schon im Voraus smile
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

deine Parametrisierung ist falsch, denn sie erfüllt nicht X^2+Y^2+Z^2=r^2 (wobei Großbuchstaben := entsprechende Komponenten der Parametrisierung). Versuch's lieber mal mit



Hier kannst du dich leicht davon überzeugen, dass X^2+Y^2+Z^2=r^2 gilt, wie es bei der Parametrisierung eines Kreises um den Nullpunkt der Fall sein sollte.

Das entstehende Integral kann man lösen, indem man, wenn zB das innere Integral das nach dy ist, hier qualitativ die Ableitung des arcsin erkennt und die lineare Substitution von 'innen': anwendet. Es ist erstaunlich: Das äußere Integral löst sich dann quasi in Luft auf, da integriert man nur noch eine Konstante. Nicht vergessen, das Ergebnis zu verdoppeln, denn obige Parametrisierung als Funktionsgraph kann natürlich nur eine Halbkugelschale beschreiben.

LG
sibelius84
 
 
Joseph_1453 Auf diesen Beitrag antworten »

@sibelius84 Besten Dank für deine Antwort.

Ich habe es mit der neuen Parametrisierung versucht.
Das macht wirklich mehr Sinn

T(x,y) = (x, y, sqrt(r^2-x^2-y^2)

Komme leider immer noch nicht auf 4*pi*r^2 :/

Verstehe den Teil mit
" hier qualitativ die Ableitung des arcsin erkennt und die lineare Substitution von 'innen': anwendet" nicht ganz....

Ich rechne:
T(x,y) nach x Ableiten =

T(x,y) nach y Ableiten =

|N| =

Somit bekomme ich:



TR (TI-nspire CX CAS) = das Gleiche wie oben einfach mit 2* und nicht -r bis r sonder 0 bis r

Habe das gleiche Problem mit dem Volumen:
Kugelkoordinaten klappt das ganz gut und ich komme auf = 4/3 * pi * r^3
Abr im kartesischen....

TR bei Vol =

Sonst auch egal ich dachte es wäre eine gute Übung um auf das Gleiche zu kommen abr es gibt mir nur Kopfweh....

Besten Dank...
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Dein inneres Integral ist

.

Wenn man mal scharf hinsieht, sieht man, dass es von der Form mit Konstanten c,d ist.

Solche Integrale lassen sich mit dem Arcussinus lösen, wenn man substituiert. Ausführen musst du das schon selber!
Joseph_1453 Auf diesen Beitrag antworten »

Besten Dank @sibelius84 Freude , dann werde ich es mal so ausführen...

Verstehe ich das richtig, würde ich so auf 4*pi*r^2 kommen?
Habe leider keinen scharfen Adlerblick in diesen Dingen sonst müsste ich ja nicht fragen Augenzwinkern ....
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt , also mit der Kettenregel für nach Kürzen durch .

Das heißt, wenn du einen Term der Form integrieren willst, könntest du durch kürzen. Das ergibt , bzw. . So kann man sehen, dass die Substitution aussichtsreich ist.

Generell: (der Pfeil bedeutet immer: nach geeigneter linearer Substitution)

-> Arcustangens

-> Arcussinus

-> Areasinus hyperbolicus

-> Areacosinus hyperbolicus

(b, c > 0)
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