Beweis arcsin = sin^-1 im Komplexen

15.04.2018, 10:12	Der_Apfel	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis arcsin = sin^-1 im Komplexen Der arcsin ist gegeben mit: $\begin{eqnarray} arcsin(z) = \frac{1}{i} (ln(iz + \sqrt{1-z^2})) \end{eqnarray}$ Der sin ist gegeben mit: $\begin{eqnarray} sin(z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} \end{eqnarray}$ Nun hab ich eingesetzt: $\begin{eqnarray} sin(z) = \frac{e^{i\cdot arcsin(z)} - e^{-i\cdot arcsin(z)}}{2i} \end{eqnarray}$ Was raus kommen soll ist: $\begin{eqnarray} sin(arcsin(z)) = z \end{eqnarray}$ Ich komme allerdings auf $\begin{eqnarray} z + \frac{\sqrt{1-z^2}}{i} \end{eqnarray}$ Aus $\begin{eqnarray} e^{i\cdot arcsin(z)} \end{eqnarray}$ ergibt sich bei mir $\begin{eqnarray} iz + \sqrt{1-z^2} \end{eqnarray}$ Wo liegt mein Fehler?
15.04.2018, 10:27	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis arcsin = sin^-1 im Komplexen Ich nehme an du wirst Potenzgesetze beim anderen Term missachtet haben. Denk dran, dass $\begin{eqnarray} e^{-w} = \frac 1 { e^w} \end{eqnarray}$ ist.
15.04.2018, 10:51	Der_Apfel	Auf diesen Beitrag antworten »
Tatsächlich, danke für den Hinweis! -Erledigt

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