Abschätzung für Normalverteilungsfunktion

15.04.2018, 11:05

daLoisl

Abschätzung für Normalverteilungsfunktion

Hallo Leute,

für eine normalverteilte Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X \sim \mathcal N(0,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ gilt bekanntlich für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac 1 {\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \left( \frac 1 x - \frac 1 {x^3} \right)\exp\left(-\frac{x^2} {2\sigma^2}\right) \le P(X > x) \le \frac 1 {\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \frac 1 x \exp\left( -\frac {x^2}{2 \sigma^2} \right).<br /> \end{eqnarray*}$

Angeblich folgt daraus (wieder $\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$ )
$\begin{eqnarray*} P(X > x) \le \exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right) \end{eqnarray*}$ .
Für $\begin{eqnarray*} x \ge (2\pi \sigma^2)^{-\frac 1 2} \end{eqnarray*}$ ist das eine einfache Folgerung aus der obigen Ungleichung. Aber warum gilt es auch für $\begin{eqnarray*} 0 < x < (2\pi \sigma^2)^{-\frac 1 2} \end{eqnarray*}$ ?

Hat dazu jemand eine Idee?

Liebe Grüße
daLoisl

15.04.2018, 18:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von daLoisl
für eine normalverteilte Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X \sim \mathcal N(0,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ gilt bekanntlich für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac 1 {\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \left( \frac 1 x - \frac 1 {x^3} \right)\exp\left(-\frac{x^2} {2\sigma^2}\right) \le P(X > x) \le \frac 1 {\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \frac 1 x \exp\left( -\frac {x^2}{2 \sigma^2} \right).<br /> \end{eqnarray*}$

Ist das so? Na dann betrachten wir mal die rechte Ungleichung für $\begin{eqnarray*} \sigma = x = 2 \end{eqnarray*}$ . Dann ist

$\begin{eqnarray*} P(X>x) = 1-\Phi(1) \approx 0.1587 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \frac 1 x \exp\left( -\frac {x^2}{2 \sigma^2} \right) \approx 0.06049 \end{eqnarray*}$ ,

und sehen, dass die von dir genannte Ungleichung falsch ist.

---------------------------------------------------------

Mir ist die für standardnormalverteilte $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ gültige Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{z}{z^+1} \exp\left( -\frac{z^2}{2} \right) \leq P(Z>z) = 1-\Phi(z) \leq \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{z} \exp\left( -\frac{z^2}{2} \right) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z>0 \end{eqnarray*}$

bekannt. Für $\begin{eqnarray*} X \sim \mathcal N(0,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ folgt daraus durch Transformation $\begin{eqnarray*} X=\sigma Z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}} \frac{x}{x^2+\sigma^2} \exp\left( -\frac{x^2}{2\sigma^2} \right) \leq P(X>x) \leq \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{x} \exp\left( -\frac{x^2}{2\sigma^2} \right) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>0\qquad (*) \end{eqnarray*}$ ,

d.h., das $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ landet im Zähler statt Nenner.

---------------------------------------------------------

Aus der rechten Ungleichung in (*) folgt unmittelbar, dass für $\begin{eqnarray*} x \geq \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} P(X > x) \leq \exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right) \end{eqnarray*}$ .

Und für $\begin{eqnarray*} 0 < x < \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}} \end{eqnarray*}$ ist diese Ungleichung geradezu trivialerweise erfüllt: Denn da ist

$\begin{eqnarray*} \exp\left( -\frac{x^2}{2\sigma^2} \right) > \exp\left( -\frac{1}{4\pi} \right) \approx 0.9235 \end{eqnarray*}$ ,

während $\begin{eqnarray*} P(X>x) < 0.5 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ eh sonnenklar ist.

16.04.2018, 09:43

daLoisl

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Vielen Dank. Da ist mir tatsächlich etwas durcheinander gekommen. Nun ist alles klar!

16.04.2018, 10:24

HAL 9000

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Fein, damit wäre das geklärt. Zu deiner Abschätzung nach unten wäre noch anzumerken, dass die "strukturerhaltend" so korrigiert werden kann: Es ist für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{x^2+\sigma^2} = \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{1+\frac{\sigma^2}{x^2}} > \frac{1}{x}\cdot \frac{1-\frac{\sigma^4}{x^4}}{1+\frac{\sigma^2}{x^2}} = \frac{1}{x}\cdot \left( 1-\frac{\sigma^2}{x^2} \right) \end{eqnarray*}$ ,

so dass die linke Seite von (*) etwas abgeschwächt zu

$\begin{eqnarray*} \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}} \left( \frac{1}{x} - \frac{\sigma^2}{x^3}\right) \exp\left( -\frac{x^2}{2\sigma^2} \right) < P(X>x) \end{eqnarray*}$

wird, was natürlich sowieso nur für $\begin{eqnarray*} x\geq \sigma \end{eqnarray*}$ sinnvoll ist (für $\begin{eqnarray*} 0<x<\sigma \end{eqnarray*}$ steht da links was negatives).

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