Lineare Form exakt?

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SanJulian Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Form exakt?
Meine Frage:
Hallo,

folgende Form ist gegeben:



auf dem . und sind die kartesischen Koordinaten auf dem .

Meine Ideen:
Zunächst ist zu zeigen, dass geschlossen ist. Dafür muss man ja die Integrabilitätsbedingungen überprüfen:



wobei ich und definiert habe.

Also ist die Form geschlossen.

Dann ist noch zu berechnen, wobei ein Kreis mit Radius um den Ursprung ist.

Dazu habe ich die Kreislinie so parametrisiert: mit .

Also



wobei die Stammfunktion mit dem arctan gebildet wurde, und Ober- und Untergrenze ja jeweils dasselbe Ergebnis liefern.

Habe ich das soweit richtig gemacht?

Ist nun exakt? Da ja nicht im Definitionsbereich liegt, ist die Menge ja nicht einfach zusammenhängend. Wie kann ich nun ermitteln, ob trotzdem exakt ist oder nicht?

Würde mich sehr freuen wenn mir jemand helfen könnte!

Grüße
SanJulian
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

der erste Teil sieht gut aus. Beim zweiten Teil frage ich mich, warum du plötzlich komplexe Zahlen verwendest, und warum du x und y aus den Integralen herausziehst. Das sieht extrem merkwürdig aus! Die korrekte Parametrisierung einer Kreislinie im sieht so aus: Evtl. klappt's damit besser, dann kannst du genau die x-Koordinate für x, und die y-Koordinate für y einsetzen?

Es ist übrigens gut, dass du im Auge hast, dass die 0 nicht im Definitionsbereich liegt. Es ist mithin tatsächlich möglich, dass ein Ergebnis ungleich Null herauskommt.

LG
sibelius84
SanJulian Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

danke für die Hilfe!

Stimmt, das mit der Parametrisierung des Weges geht so natürlich besser, da hab ich irgendwie gar nicht dran gedacht.

Dann sieht es so aus:



Es kommt tatsächlich nicht Null raus! Damit kann nicht exakt sein, weil dafür ja alle Integrale über geschlossene Wege Null sein müssten.

Stimmt's?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist jetzt eine etwas haarige Frage. Auf wikipedia steht: Eine Differentialform heißt exakt, wenn sie als äußere Ableitung einer anderen Differentialform (eins tiefer) auftritt. Nun, hier ist doch eine Stammfunktion gegeben durch , oder? Also eine 0-Form. Kann man davon die äußere Ableitung bilden? Kommt dann dein omega heraus? Ist nicht eine exakte Form nur dadurch ausgezeichnet, dass geschlossene Kurvenintegrale in einfach zusammenhängenden Gebieten immer verschwinden?
(bin nicht sicher und kann mich irren)

Die Rechnung sieht sauber aus! Freude
SanJulian Auf diesen Beitrag antworten »

Bei uns im Skript fehlt diese zusätzliche Voraussetzung mit dem einfach zusammenhängend. Habe aber auch mal ein bisschen im Internet recherchiert, und man scheint sie tatsächlich zu brauchen.

Was ist eine "äußere" Ableitung?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

(1) Zur äußeren Ableitung - zumindest im Falle von 0-Formen und 1-Formen fällt dieser Begriff mit dem totalen Differential zusammen: Für f=f(x,y) gilt etwa

.

Wenn man als sehr kleine Veränderungen des Wertes von x, y interpretiert (wird häufig in Physik oder Wirtschaftswissenschaften so gemacht), macht das auch Sinn: Der Funktionswert schießt genau so steil nach oben (oder unten), wie an der jeweiligen Stelle die Ableitung (= Steigung) der Funktion ist.

Wenn du nun entsprechend behandelst, solltest du deine ursprüngliche Differentialform zurückbekommen.

(2) Im Buch "Differential Forms and Applications" von Manfredo P. do Carmo werden auf S. 18 die Begriffe eingeführt und definiert, und auf S. 19 genau dein Beispiel behandelt. Da steht:

"We will say that is closed if , and that is exact in if there exist a differentiable function such that in ." Dann steht da noch: Beachte, dass falls omega exakt ist, dann Kurvenintegrale über omega nur von Anfangs- und Endpunkt der Kurve abhängen, bzw. mit anderen Worten, dass Integrale über geschlossene Kurven stets verschwinden. Folgerichtig wird in dem Beispiel gesagt, dass die von dir genannte Form zwar lokal exakt, aber nicht exakt sei.
Also muss es irgendetwas geben, das verhindert, dass , da V nicht einfach zusammenhängend ist. Aber was das ist, verstehe ich nicht... habe stumpf aus dem Buch abgeschrieben Augenzwinkern
 
 
SanJulian Auf diesen Beitrag antworten »

Okay... Dann gibt es in unserem Skript einige Widersprüche:

"Definition: ist exakt, genau dann wenn für eine Funktion ."

Dann auf der nächsten Seite:

"Satz: Folgende Aussagen sind äquivalent:
i) ist exakt
ii) , also für geschlossene Wege.
(iii) [...]"

Also wäre demnach meine Form doch gleichzeitig exakt und nicht exakt. geschockt

Und dann kommt aber doch noch das mit dem einfach zusammenhängend ins Spiel:

"Lokale Bedingung für Exaktheit?
Satz: geschlossen auf U einfach zusammenhängend, dann ist exakt."
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Konstatiere nicht vorschnell einen Widerspruch. Irgendwie muss das Problem lösbar sein. Mit geradezu ärgerlicher Häufigkeit liegt der Fehler dann doch nicht beim Dozenten, sondern bei einem selbst. So auch hier: Ich habe einen Fehler bei der Integration gemacht Ups sorry, hoffentlich können wir wenigstens noch was draus lernen:

Bei deinem Feld haben die beiden Komponenten unterschiedliche Vorzeichen. Bei meiner angeblichen Stammfunktion -1/2ln(x^2+y^2) haben die beiden Komponenten der Ableitung gleiches Vorzeichen.
Also Korrektur: und für die x-Komponente sollte es nun auch hinhauen - aber rechne auf jeden Fall selber vorsichtshalber noch einmal nach! Augenzwinkern Damit haben wir als Stammfunktion, die für die linke und rechte Halbebene {x<0} und {x>0} gilt. Hmm, ok - aber was ist mit dem Rest?

Ich glaube, da war dann was mit arctan(x/y). Tatsächlich: Durch Variablenvertauschung in der obigen Gleichung erhalten wir (diesmal, ohne auch nur den kleinen Finger krumm zu machen Teufel )
Daraus kann man ersehen (wenn man den Rest noch nachrechnet), dass eine Stammfunktion ist, die für die obere und untere Halbebene {y>0} und {y<0} gilt.

Nun kann man natürlich versuchen, die Funktionen an den Rändern / Achsen 'zusammenzukleben', durch eine Definition mit einer geschweiften Klammer für unterschiedliche Fälle. Aber ich fürchte, dieses Konstrukt wird dann, wenn auch stetig, leider nicht mehr differenzierbar sein.

Um etwas aus meinem Fehler zu lernen: Die Funktion auf hat ja als äußere Ableitung die 1-Form . Integrieren wir die mal über eine Kreislinie um den Ursprung: (u sei das zugehörige Feld)



Also



Puh! *schweißvonderstirnwegwisch* Ok, also hatte der Dozent mal wieder Recht, aber jetzt ergibt es wenigstens für mich Sinn, für dich auch?
SanJulian Auf diesen Beitrag antworten »

Freude Das bringt Licht in die Sache. Jetzt ist mir glaub ich auch alles klar. Vielen vielen Dank!

Momentan kämpfe ich mit einer zweiten Form, bei der die Integrabilitätsbedingungen (für mich) schwerer zu überprüfen sind:



auf dem

Ist da die Einsteinsche Summenkonvention drin?

Ich hab mir überlegt: Wenn k ungleich l ist, wird das ganze ja Null, also sind die Integrabilitätsbedingungen sowieso erfüllt.

Im Fall k=l steht da doch dann (ausgeschrieben):



Hab ich das richtig verstanden?

Wenn man dann ableitet, kommt man auf



Okay, das ist jetzt vielleicht etwas umständlich aufgeschrieben. Also wenn i ungleich j dann hab ich als Ableitung ja nur die .
Wenn aber i=j (mit dem Kronecker Delta) dann hab ich einmal das abgeleitet und dann die ganzen Mischterme, wobei man ja zum Schluss den einen mit abziehen muss, und nochmal abziehen muss, um die vom Anfang wieder auszugleichen.

Ist wahrscheinlich alles viel zu kompliziert gedacht, aber passt das so?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du evtl

?

Ach so, oder Einstein'sche Summenkonvention, das kann auch sein. Man 'sucht' quasi nach den Koeffizienten der dx_1, ..., dx_n und 'findet' diese dann in Form der Terme 4|x|²·x_1, ..., 4|x|²·x_n.

Ich vermute, dass hier |x|^4 eine Stammfunktion auf ist (aufgrund des geradzahligen Exponenten sogar auch im Nullpunkt differenzierbar). Wenn du dies zeigen willst, dann schreibe diesen Term besser nicht als Verkettung mit und , sondern (falls du dir Rechnung sparen willst) als mit und , dann geht es einfacher, ohne viel Wurzelei.

Der Anfang von dem, was du gemacht hast, ist super: . Daraus musst du jetzt nur die richtigen Schlussfolgerungen ziehen! Um Integrabilitätsbedingungen zu überprüfen, brauchst du überhaupt nicht zu betrachten (insbesondere also auch nicht zu berechnen).
SanJulian Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ja! Für i=j sind die Integrabilitätsbedingungen ja sowieso erfüllt, das brauche ich gar nicht zu berechnen.

Also (falls i ungleich j).

Dieser Ausdruck ist ja in i und j symmetrisch, also sind die Integrabilitätsbedingungen erfüllt und die Form ist geschlossen.

Auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet, also auch exakt.

Eine Funktion sodass soll man berechnen, indem man

berechnet, mit einem geeigneten Weg von 0 nach x.

Nimmt man da einfach so eine Parametrisierung wie ?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst auch einfach - vorzugsweise durch die Substitution -



bestimmen (x_2, ..., x_n gelten so lange als Konstanten) und schauen, ob das, was rauskommt, evtl. schon eine Stammfunktion ist. Müsste aufgrund der Symmetrie eigentlich hinhauen.
SanJulian Auf diesen Beitrag antworten »

Dieses Integral hab ich berechnet, und komme auf

.

Leitet man das wieder ab, komme ich wieder auf , passt also.

Wie würde man es denn wie bei der anderen Aufgabe mit einem Integral über einen Weg von 0 nach x machen? Wenn ich nehme und dann einsetze, steht da

.

Da kommt doch eindeutig was anderes raus. Was habe ich da falsch gemacht?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Also bei mir ist



Leite ich dies nach x_2 ab, so erhalte ich



Dieser Weg ist eigentlich meistens besser als das Kurvenintegral, wenn auch hier ziemlich abstrakt wegen des allgemeinen n.


Mit dem Kurvenintegral würdest du besser 1 in die obere Grenze schreiben anstatt x. Integrieren musst du dann über das Skalarprodukt aus Feld mit eingesetzter Kurve (tx_1, ..., tx_n) und dem Tangentialvektor (x_1,...,x_n) dieser Kurve.
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