Schiefsymmetrische Matrix

15.04.2018, 13:14

Sofia100

Schiefsymmetrische Matrix

Hallo,
Sei K ein Körper mit $\begin{eqnarray*} char K \ne 2, n \in \mathbb N \setminus \{0 \} \end{eqnarray*}$ , gerade, also n = 2m fürr ein
$\begin{eqnarray*} m \in \mathbb N \setminus \{0 \} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \in K^{n \times n} \end{eqnarray*}$ schiefsymmetrisch . Defniert man
$\begin{eqnarray*} P(x_{1,1}, x_{2,2}....) = <br /> \sum sign(o) x_{o(1),o(2)} \cdot x_{o(3),o(4)} \cdot....x_{o(2m-1),o(2m)} \end{eqnarray*}$
wobei über alle $\begin{eqnarray*} o \in S_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} o(2i) > o(2i -1) \end{eqnarray*}$ für i = 1,.....,m summiert wird, so gilt:
$\begin{eqnarray*} det A= (\frac{1}{m!} P( a_{1,1},....,a_{n,n}) ^2 \end{eqnarray*}$

Man soll zeigen, dass die Determinante einer schiefsymmetrischen Matrix ungerader Größe 0 ist.

Bei einer schiefysmmetrischen Matrix gilt $\begin{eqnarray*} a_{ii}=0 \end{eqnarray*}$ Wsl wird dann gerade über jene Permutationen summiert, die jeweils ein solches $\begin{eqnarray*} a_{ii}=0 \end{eqnarray*}$ enthalten.
Aber wie sehen solche Permutationen mit $\begin{eqnarray*} o(2i) > o(2i -1) \end{eqnarray*}$ aus.

Wenn ich zb o(1)=2, o(2)=1, o(3)=3 habe, dann wäre das ja gerade nicht solch eine Permutation, denn o(2) ist kleiner als o(3).
Kann mir da jmd bitte weiterhelfen smile

15.04.2018, 20:22

Sofia100

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RE: schiefsymmetrische Matrix
Kann vllt jmd einen Tipp geben?

15.04.2018, 20:39

sibelius84

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Hi,

müsst ihr das mit der ekligen Permutationsformel machen? Man könnte auch so argumentieren:

-> Eine quadratische Matrix A ungerader Dimension hat ein charakteristisches Polynom ungeraden Gerades, das nach dem Zwischenwertsatz eine (reelle) Nullstelle besitzt; A besitzt also einen reellen Eigenwert.

-> Nun besitzen schiefsymmetrische Matrizen nur rein imaginäre Eigenwerte.

=> einzig verbleibende Möglichkeit: A besitzt den Eigenwert 0, ist also nicht invertierbar und die Determinante ist Null.

LG
sibelius84

edit:
Mit der von dir genannten Formel geht es evtl. auch. Du hast ja P( $\begin{eqnarray*} a_{11},a_{22},\ldots \end{eqnarray*}$ ), also P wird genau ausgewertet auf den Diagonalelementen und die sind bei schiefsymmetrischen Matrizen bekanntlich alle Null. Kommt in jedem Summanden dieser ekligen Formel mindestens ein Diagonalelement als Faktor vor? Dann hättest du gewonnen.

15.04.2018, 20:52

Sofia100

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Danke für deine Tipps aber wir müssen das mit dieser blöden Formel machen unglücklich

Ich habe auch gedacht, dass man die die Daigonalelemente jeweils multipliziert und dann immer 0 rauskommt, aber ich verstehe nicht genau, wie diese Summe arbeitet, weil ich nicht weis, welche Permutationen mit $\begin{eqnarray*} o(2i)>o(2i-1) \end{eqnarray*}$ gemeint sind?
Selbst wenn diese ungerade Permutationen Fixpunkte hätten, also sowas wie o(i)=i,( dann würde man ja ein $\begin{eqnarray*} a_ii=0 \end{eqnarray*}$ treffen) , bringt das ja nichts, da die Indizes in der Formel immer eins "weitergehen" und nicht wie in der Leibnizformel $\begin{eqnarray*} a_{o(i),i)} \end{eqnarray*}$ gebildet werden unglücklich

Hast du noch eine Idee vllt smile

15.04.2018, 23:53

sibelius84

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Es ist mir jetzt klar geworden, was das bedeutet: Es werden nur Elemente rechts oben von der Diagonale multipliziert (Spaltenindex > Zeilenindex).

Am besten mal ein Beispiel betrachten: a_11 = a_22 = 0, a_12 = -a_21 = 1. Dann wird nur über eine einzige Permutation summiert, nämlich die Identität, und heraus kommt bei der Formel gerade 1. Für die transponierte Matrix ergibt sich -1. Die Formel liefert also auf transponierten Matrizen andere Ergebnisse, hier genau das ins Negative Verkehrte. Das dürfte bei schiefsymmetrischen Matrizen ganz allgemein der Fall sein, da ja A=-A^T.

Betrachten wir nun mal die schiefsymmetrische 3 x 3-Matrix, die oben rechts nur 1en hat und unten links nur -1en. Hier gibt es 6 Permutationen zu betrachten und es gewinnen: die Identität, dann noch (13)(24), (243), (231). Kannst ja selber mal durchrechnen, nachprüfen dass 0 rauskommt, und schauen ob dir dabei was auffällt Augenzwinkern

Gute Nacht!

16.04.2018, 07:42

Sofia100

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Zitat:

Original von sibelius84
Es ist mir jetzt klar geworden, was das bedeutet: Es werden nur Elemente rechts oben von der Diagonale multipliziert (Spaltenindex > Zeilenindex

Gute Nacht!

Wenigstens einer hat es verstanden smile

Wie kommst du auf diese Bedingung?
Ist es das mit o(2i)>(2i-1)?

Weiter unten erklärst du mir, welche Permutationen bei einer 3x3 Matrix vorkommen,,aber wieso taucht bei dir da 4 auf?
Vllt könntest du mir nochmal erklären welche Permutationen summiert werden, wenn o(2i)>(2i-1) gilt, bitte Gott

16.04.2018, 11:38

sibelius84

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Alle Faktoren in jedem Summanden dieser Formel sind von der Form $\begin{eqnarray*} x_{\sigma(2i-1),\sigma(2i)} \end{eqnarray*}$ mit einem $\begin{eqnarray*} i\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Da die Voraussetzung gerade lautet: $\begin{eqnarray*} \sigma(2i)>\sigma(2i-1) \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet für die Faktoren von oben gerade: Spaltenindex > Zeilenindex, also das Element liegt rechts oben in der Matrix.

Sorry wegen 3x3 und 4x4 Vertauschung, es war wohl schon zu spät Engel

16.04.2018, 11:52

Sofia100

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D.h ich lasse alle Permutationen weg, die diese Eigenschaft nicht erfüllen. Wie kann ich das dann allgemein argumentieren?

16.04.2018, 12:07

sibelius84

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Ich weiß die Lösung nicht, ich kann nur mit dir zusammen spekulieren oder Vermutungen anstellen, was man noch ausprobieren und in welche Richtung man noch forschen könnte.

Hast du denn die schiefsymmetrische 3 x 3-Matrix, die oben links nur Einsen hat und unten links entsprechend nur Minus-Einsen, mal weiter betrachtet und gerechnet? Wenn du dieses Beispiel hier durchgerechnet hinsetzen würdest, würde mir evtl. noch eine Idee kommen (wenn dir bis dahin nicht schon längst selber eine gekommen ist).

Generell gilt immer: So lange Beispiele durchrechnen (sich sukzessive steigernden Komplexitätsgrades), bis man etwas erkennt.

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