Glatte Fkt auf einer Mannigfaltigkeit

15.04.2018, 15:48	Approxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Glatte Fkt auf einer Mannigfaltigkeit Guten Tag zusammen, sei $\begin{eqnarray} S^2 \end{eqnarray}$ die Standard Einheitsspähre im $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \text{und} \(p,q\in S^2 \end{eqnarray}$ . Die Distanz $\begin{eqnarray} d(q,p) \end{eqnarray}$ ist definiert als, die kürzeste Verbindung zwischen diesen beiden Punkten. Sei $\begin{eqnarray} p_0=(1,0,0) \in S^2 \end{eqnarray}$ der Nordpol. - Definiere eine Funktion $\begin{eqnarray} f(q) = d(p_0,q) \end{eqnarray}$ . Ist diese Stetig? Ich würde das ganze in kartesischen Koordinaten betrachten und denn Winkel zwischen den beiden Vektoren berechnen. $\begin{eqnarray} \cos\gamma = \frac{<q,p_0>}{\|q\|\|p_0\|} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \end{eqnarray}$ Anschließend erhält man die länge über $\begin{eqnarray} f(q) = \frac{\pi}{180} \cdot \gamma \end{eqnarray}$ Bei dem Beweis für Stetig tue ich mir schwer $\begin{eqnarray} f:S^2 \to \mathbb R\) \text{ist Stetig} in \(x_0 \in S^2 \end{eqnarray}$ , falls gilt: $\begin{eqnarray} \forall \epsilon >0 ,\exists \delta >0, \forall x \in S^2: \|x-x_0\| < \delta \Rightarrow \|f(x)-f(x_0)\| < epsilon \end{eqnarray}$ Beweis: $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(x_0)\| = \|d(x,p_0) - d(x_0,p_0)\| \leq \|d(x,x_0)\| \end{eqnarray}$ Wie könnte man den Ausdruck weiter abschätzen um $\begin{eqnarray} \|x-x_0\| \end{eqnarray}$ reinzukriegen? Gruß Approxx

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