Betragsfunktion/Beweis

15.04.2018, 19:23	Bizepsbenny	Auf diesen Beitrag antworten »
Betragsfunktion/Beweis Hallo ich wollte einmal fragen, ob meine Beweise zu der Aufgabe im Anhang richtig sind: $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist nicht surjektiv, denn beispielsweise $\begin{eqnarray} -1 \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ hat kein Urbild unter $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} f(-1) = \|-1\|= -(-1) = 1 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist nicht injektiv, da $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ zwei verschiedene Elemente in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ sind, für die $\begin{eqnarray} f(-1) = \|-1\|=-(-1)=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(1) = \|1\|=1 \end{eqnarray}$ gilt.
15.04.2018, 19:28	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betragsfunktion/Beweis Das ist nur fast korrekt. Die Gleichung zur Surjektivität beweist nicht das, was Du davor geschrieben hast. Richtig ist: -1 hat kein Urbild, aber die Begründung f(-1)=1 hat nicht wirklich etwas damit zu tun. Du müsstest ja zeigen, dass es keine ganze Zahl z mit \|z\|=-1 gibt. Du hast es nur für z=-1 gezeigt.
15.04.2018, 19:47	Bizepsbenny	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betragsfunktion/Beweis @Helferlein stimmt. Kann ich das auch so schrieben? $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist nicht surjektiv, da kein $\begin{eqnarray} z<0 \end{eqnarray}$ ein Urbild unter $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ hat, wegen $\begin{eqnarray} f(-z) =\|-z\| = -(-z) = z \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(z) =\|z\| = z \end{eqnarray}$ so oder?
15.04.2018, 19:56	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde den Grund noch etwas deutlicher herausstellen: $\begin{eqnarray} z\geq 0 \Rightarrow f(z)=\|z\|=z \geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z<0 \Rightarrow f(z)=\|z\|=-z>0 \end{eqnarray}$ Negative Zahlen haben also keine Urbilder unter f.
15.04.2018, 19:59	Bizepsbenny	Auf diesen Beitrag antworten »
top, danke sehr

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