Sich selbst enthaltende Mengen

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Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
Sich selbst enthaltende Mengen
In einem Mathebuch für Philosophen lese ich gerade: A set is never a member of itself. At least not in standard set theory. [...] Any definition of a set that implies that it is a member of itself is illformed.

Das überrascht mich. Ist das korrekt und woraus ergibt sich das?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

das liegt am Fundierungsaxiom der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre. Dieses besagt, dass jede nichtleere Menge A eine Menge B enthält, die keine Elemente mit A gemeinsam hat.

Wenn nun C eine Menge wäre, die sich selbst enthält, so widerspräche {C} dem Fundierungsaxiom (diese Menge existiert aufgrund des Paarmengenaxioms (sie ist identisch mit {C,C})).
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, danke. Dieses Axiom verhindert also auch, dass ich überhaupt die Russellsche Menge konstruieren kann, in dem es schon vorab festlegt: Sich selbst kann diese Menge nicht enthalten und damit entsteht die Paradoxie gar nicht erst. Richtig?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

In der russelschen Antinomie geht es m. W. um die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten. Da dies alle Mengen sind, geht es um die Menge aller Mengen, die ebenfalls nicht existieren kann, denn dann müsste sie sich ja selbst enthalten ;-)
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