Differentialoperatoren in krummlinigen Koordinaten

16.04.2018, 13:54

Grph v Mnt Chr

Differentialoperatoren in krummlinigen Koordinaten

Meine Frage:
Hallo Zusammen,

Die Aufgabe besteht darin, dass ich für folgendes Potenzial den Gradienten berechnen soll (Kugelkoordinaten) $\begin{eqnarray*} U\left(r,\phi\right) = \frac{p\cos(\phi) }{4\pi\epsilon_{0}r^{2} } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Die partiellen Ableitungen lauten (nach berechnung)

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial U}{\partial r} = -\frac{p\cos(\phi)}{2\pi \epsilon_{0}r^{3} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial U}{\partial \phi} = -\frac{p\sin(\phi)}{4\pi \epsilon_{0}r^{2} } \end{eqnarray*}$

Für den Gradienten in Kugelkoordinaten gilt ja:

$\begin{eqnarray*} \nabla= \vec{e} _{r} \partial_{r} + \vec{e} _{\theta} \frac{1}{r} \partial_{\theta} + \vec{e} _{\phi} \frac{1}{r\sin(\theta)} \partial_{\phi} \end{eqnarray*}$

und genau da liegt mein Problem. Ich weiß nicht, wie ich den Operator mit meinen Ableitungen in Verbindung bringe, um dann Endgültig den Gradienten zu bestimmen.

Ich bin dankbar für jeden Tipp.

LG

16.04.2018, 16:34

Huggy

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RE: Differentialoperatoren in krummlinigen Koordinaten

Zitat:

Original von Grph v Mnt Chr
Für den Gradienten in Kugelkoordinaten gilt ja:

$\begin{eqnarray*} \nabla= \vec{e} _{r} \partial_{r} + \vec{e} _{\theta} \frac{1}{r} \partial_{\theta} + \vec{e} _{\phi} \frac{1}{r\sin(\theta)} \partial_{\phi} \end{eqnarray*}$

und genau da liegt mein Problem. Ich weiß nicht, wie ich den Operator mit meinen Ableitungen in Verbindung bringe, um dann Endgültig den Gradienten zu bestimmen.

Ganz simpel. Schreibe hinter jeden Differentialoperator ein $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ mit der Interpretation

$\begin{eqnarray*} \partial_r U = \frac {\partial U}{\partial r} \end{eqnarray*}$

usw.

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