Gaußverfahren

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Emma_ Auf diesen Beitrag antworten »
Gaußverfahren
Meine Frage:
Hallo,
ich bin gerade dabei mir das Gaußverfahren anzueignen.
Beispielsweise habe ich:
0 2 7 / 14
1 5 -1 / -2
1 2 6 / 5
Hier würde ich ja so umformen, dass anstelle der beiden "1" der ersten Spalte und der unteren "2" der zweiten Spalte eine 0 steht.

Nun zu meiner Frage: wenn das ganze nicht quadratisch ist, also nicht drei Zeilen und drei Spalten, sondern beispielsweise 5 Spalten und 4 Zeilen
z.B.
1 2 3 4 5 / 6
7 8 9 10 11 / 12
-1 -2 -3 -4 -5 / -6
-7 -8 -9 -10 -11/ -12
an welchen Stellen müsste ich dann eine null erreichen?


Ich würde mich wirklich freuen, wenn mir jemand diese Frage beantworten könnte smile


Meine Ideen:
Wie ich das im Endeffekt löse, ist mir klar. Ich bin mir nur unsicher wie weit ich es bzw. wo zu einer 0 umformen muss (um es lösen zu können).
sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gaußverfahren
Zitat:
Original von Emma_
Meine Frage:
Beispielsweise habe ich:
0 2 7 / 14
1 5 -1 / -2
1 2 6 / 5
Hier würde ich ja so umformen, dass anstelle der beiden "1" der ersten Spalte und der unteren "2" der zweiten Spalte eine 0 steht.


Du kannst nur noch eine 1 in der ersten Spalte verschwinden lassen, denn du hast ja schon eine 0 in der ersten Spalte. Um eine echte Dreiecksform zu erhalten, kannst du ggf. die Zeilen vertauschen. Das ist aber nicht unbedingt erforderlich. Entscheidend ist, dass du in einer Zeile nur noch einen Koeffizienten ungleich null hast und in einer anderen zwei.

Zitat:
Original von Emma_
Nun zu meiner Frage: wenn das ganze nicht quadratisch ist, also nicht drei Zeilen und drei Spalten, sondern beispielsweise 5 Spalten und 4 Zeilen
z.B.
1 2 3 4 5 / 6
7 8 9 10 11 / 12
-1 -2 -3 -4 -5 / -6
-7 -8 -9 -10 -11/ -12
an welchen Stellen müsste ich dann eine null erreichen?


Das ist ein schlecht gewähltes Beispiel, denn du hast in Wirklichkeit keine 4 Gleichungen, sondern nur 2, da die dritte und vierte sich direkt aus den ersten beiden ergibt. Das Ziel bleibt aber das gleiche. Wenn der Rang deiner Koeffizientenmatrix r ist, suchst du dir r Variablen so, dass deren Koeffizienten eine Matrix mit dem Rang r bilden. Innerhalb dieser Teilmatrix musst du dann die Dreiecksform herstellen. Der Rang der Matrix in deinem (selbstgewählten?) Beispiel ist 2, Sio dass dein homogenes System einen dreidimensionalen Lösungsvektorraum hat. (5-2=3).

Ich glaube aber, dass im schulischen Bereich eine solche Aufgabe nicht vorkommt.
Das ist wohl eher ein Fall für die lineare Algebra im Hochschulbereich.
Bestenfalls hast du eine Variable mehr als du linear unabhängige Gleichungen hast. Sollte es anders sein und ich mich irren, dann melde dich nochmal mit einer konkreten Aufgabe aus der Schule.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sixty-four
Das ist ein schlecht gewähltes Beispiel, denn du hast in Wirklichkeit keine 4 Gleichungen, sondern nur 2, da die dritte und vierte sich direkt aus den ersten beiden ergibt.

Auch schlechte Beispiele können lehrreich sein, und auch mit denen muss der Algorithmus zurechtkommen. In dem Fall kann das, was du hier erklärt hast, im Algorithmenkontext so gedeutet werden:

Addiert man zur dritten Zeile die erste, so entsteht eine komplette Nullzeile. Solche kann man im Gaußalgorithmus stets streichen, sie bringen keine Zusatzinformation. Das gleiche passiert, wenn man zur vierten Zeile die zweite addiert, auch hier entsteht wieder eine Nullzeile, die entfernt werden kann.

Das mit der "Nullzeile" ist inklusive des letzten Wertes zu verstehen, d.h. dem in der Ergebnisspalte. Gibt es jedoch zu irgendeinem Verfahrensschritt irgendeine Zeile des Tableaus, wo der Wert in dieser Ergebnisspalte ungleich Null ist, der Rest der Zeile aber komplett Null ist, so bedeutet dies "System besitzt keine Lösung", hier kann man dann stoppen. Das passiert z.B., wenn etwa in der letzten Zeile an letzter Position eine -13 statt -12 stünde.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

prinzipiell unterhalb der Diagonalen soweit wie möglich. Notfalls mit Spaltenvertauschungen.

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
01-gf-kh-rs-sf-lp-fg...
00-01-lu-lm-mc-er-sd...
00-00-01-df-ig-fd-zw...
00-00-00-01-pp-wa-yd...
00-00-00-00...
..........................
sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von sixty-four
Das ist ein schlecht gewähltes Beispiel, denn du hast in Wirklichkeit keine 4 Gleichungen, sondern nur 2, da die dritte und vierte sich direkt aus den ersten beiden ergibt.

Auch schlechte Beispiele können lehrreich sein, und auch mit denen muss der Algorithmus zurechtkommen.


Dem stimme ich natürlich zu. Aus didaktischen Gründen würde ich aber nicht unbedingt mit so einem Beispiel beginnen, wenn das Grundprinzip noch nicht klar ist. Außerdem habe ich meine Zweifel, dass im Schulbereich Lösungen der Form
vorkommen. Das wäre aber hier der Fall. Falls ich mich diesbezüglich irre (was durchaus sein kann), müsste noch erklärt werden, wie man von den Berechnungen des Gauß-Algorithmus auf diese Lösung kommt.
Emma_ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gaußverfahren
Also, erstmal vielen Dank für die ganzen Antworten.

Das Beispiel war ausgedacht, es ging mir auch eigentlich nur um das Grundprinzip der Dreiecksform.
Beispiel:
3x3 LGS (a-i seinen beliebige Zahlen)
a b c / 0
d e f / 0
g h i /0

In diesem Fall, müsste ich ja d,g,h, zu Nullen umformen.
Wenn ich eine 4x4 Matrix hätte, würde das "Dreieck" ja größer werden oder?
also:
a11 a12 a13 a14 / 0
a21 a22 a23 a24 /0
a31 a32 a33 a34 /0
a41 a42 a43 a44 /0
hier müsste ich doch a21, a31, a41, a32, a42 zu Nullen umformen, damit ich in der letzten Zeile nur noch eine Variable habe richtig?

Wenn die Matrix jetzt jedoch nicht quadratisch ist, wie wird dann das Dreieck gewählt.
Beispiel :
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
Müsste ich jetzt hier a21, a31, a32 zu Nullen umwandeln, oder noch mehr?
In der letzten Zeile, würden dann ja zwei Variablen überbleiben. Könnte man die in Abhängigkeit mit einem Parameter aufschreiben?

LG Emma
 
 
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gaußverfahren
Zitat:
Original von Emma_

a11 a12 a13 a14 / 0
a21 a22 a23 a24 /0
a31 a32 a33 a34 /0
a41 a42 a43 a44 /0
hier müsste ich doch a21, a31, a41, a32, a42 zu Nullen umformen, damit ich in der letzten Zeile nur noch eine Variable habe richtig?

das ist ein homogenes System. a43 ist auch noch Null.
Wenn a44 <>0 dann ist x4=0 und somit x3=x2=x1=0. Triviale Lösung


Zitat:

Wenn die Matrix jetzt jedoch nicht quadratisch ist, wie wird dann das Dreieck gewählt.
Beispiel :
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
Müsste ich jetzt hier a21, a31, a32 zu Nullen umwandeln, oder noch mehr?
In der letzten Zeile, würden dann ja zwei Variablen überbleiben. Könnte man die in Abhängigkeit mit einem Parameter aufschreiben?

mehr Nullen geht nicht, höchstens zufällig.
ja, wenn also und so weiter.
Alle enthalten dann als Faktor ----> die Lösungsmenge ist eine Ursprungsgerade im
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