Beweis |
17.04.2018, 08:56 | Primzahl55 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Beweis ich würde gerne zum Verständnis folgendes beweisen: Ich habe einen Integritätsring R: p irreduzibel aus folgt oder Also : p irreduzibel heiißt: aus folgt oder Sei also , sei , dann ist (a)=R, denn es gilt ab=1 mit . Daist Wie mache ich dann den anderen Fal, wenn a keine Einheit ist? |
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17.04.2018, 12:39 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi, dann ist a keine Einheit, dafür ist aber b eine. Also p=ba mit b Einheit, also p ~ a (assoziiert), also (p)=(a) (falls dir nicht klar ist, warum das folgt, noch mal durch wechselseitige Inklusion nachrechnen - ist nicht schwer! ). LG sibelius84 |
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17.04.2018, 21:10 | Primzahl55 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also dann habe ich doch Geht das so Die andere Richtung wäre: Aus folgt (a)=R es gibt dann ein b aus R mit p=ab und a ist eine Einheit. [/latex] Wenn dann gibt es dann ein b aus R mit p=ab. D.h ein Element muss eine Einheit sein. Wie sehe ich das letzte genau? |
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18.04.2018, 18:43 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Sei p=cd mit c, d aus R beliebig. Wir müssen zeigen, dass c aus R*, oder d aus R* ist. Wir haben damit p € (c) und p € (d), also wenn wir die Voraussetzung nutzen, dann gibt es insgesamt 2*2=4 mögliche Fälle. Drei davon beinhalten aber, dass eines der Ideale gleich ganz R ist. Dann ist c oder d eine Einheit (denn es gibt dann x mit cx=1 bzw. dx=1) und die Behauptung bewiesen. Beschäftigen wir uns also mit dem vierten, der da lautet: (c)=(p)=(d). Dann sind p, c und d assoziiert. Wir wissen, dass wir einen Widerspruch suchen müssen, denn in Wahrheit muss ja (c)=R oder (d)=R gelten, wenn eines von beiden eine Einheit ist. c € (p) => c=ap (mit a € R) d € (p) => d=bp (mit b € R) => p=cd=(ab)p² => p(ab)=1 => p Einheit => Widerspruch. |
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19.04.2018, 00:39 | Primzahl55 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke jetzt ist alles klar Ich habe noch bei einem anderen Beweis ein kleines Problem: Sei R Integritätsring und g größter gemeinsamer Teiler von zwei Elemente a,b aus dem Ring. Dann gilt für alle g' aus R: Bei der Rückrichtung ist zu zeigen, dass cg auch ein größter gemeinsamer Teiler von a,b ist. Es gilt ja g|a, also a=dg mit Damit folgt dan, d.h cg|a Warum darf man ein Inveres hier verwenden. Sowas gibt es doch in einem Ring nicht? |
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19.04.2018, 14:57 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » |
In R gibt es das im Allgemeinen nicht. Aber in R* schon. R* ist die Einheitengruppe des Ringes, d.h. gerade die Menge der multiplikativ invertierbaren Elemente. |
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20.04.2018, 21:02 | Primzahl55 | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Beweis Vielen Dank. Jetzt ist alles klar |
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