Beweis

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Primzahl55 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis
Hallo,
ich würde gerne zum Verständnis folgendes beweisen:
Ich habe einen Integritätsring R:

p irreduzibel aus folgt oder

Also : p irreduzibel heiißt: aus folgt oder

Sei also , sei , dann ist (a)=R, denn es gilt ab=1 mit . Daist
Wie mache ich dann den anderen Fal, wenn a keine Einheit ist?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

dann ist a keine Einheit, dafür ist aber b eine. Also p=ba mit b Einheit, also p ~ a (assoziiert), also (p)=(a) (falls dir nicht klar ist, warum das folgt, noch mal durch wechselseitige Inklusion nachrechnen - ist nicht schwer! smile ).

LG
sibelius84
Primzahl55 Auf diesen Beitrag antworten »

Also dann habe ich doch
Geht das sosmile

Die andere Richtung wäre:

Aus folgt (a)=R
es gibt dann ein b aus R mit p=ab und a ist eine Einheit.
[/latex]
Wenn dann gibt es dann ein b aus R mit p=ab.

D.h ein Element muss eine Einheit sein. Wie sehe ich das letzte genau?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Sei p=cd mit c, d aus R beliebig. Wir müssen zeigen, dass c aus R*, oder d aus R* ist.

Wir haben damit p € (c) und p € (d), also wenn wir die Voraussetzung nutzen, dann gibt es insgesamt 2*2=4 mögliche Fälle. Drei davon beinhalten aber, dass eines der Ideale gleich ganz R ist. Dann ist c oder d eine Einheit (denn es gibt dann x mit cx=1 bzw. dx=1) und die Behauptung bewiesen. Beschäftigen wir uns also mit dem vierten, der da lautet: (c)=(p)=(d). Dann sind p, c und d assoziiert.
Wir wissen, dass wir einen Widerspruch suchen müssen, denn in Wahrheit muss ja (c)=R oder (d)=R gelten, wenn eines von beiden eine Einheit ist.
c € (p) => c=ap (mit a € R)
d € (p) => d=bp (mit b € R)

=> p=cd=(ab)p²
=> p(ab)=1
=> p Einheit
=> Widerspruch.
Primzahl55 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke jetzt ist alles klarsmile
Ich habe noch bei einem anderen Beweis ein kleines Problem:

Sei R Integritätsring und g größter gemeinsamer Teiler von zwei Elemente a,b aus dem Ring. Dann gilt für alle g' aus R:


Bei der Rückrichtung ist zu zeigen, dass cg auch ein größter gemeinsamer Teiler von a,b ist.
Es gilt ja g|a, also a=dg mit Damit folgt dan, d.h cg|a

Warum darf man ein Inveres hier verwenden. Sowas gibt es doch in einem Ring nicht? verwirrt
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

In R gibt es das im Allgemeinen nicht. Aber in R* schon. R* ist die Einheitengruppe des Ringes, d.h. gerade die Menge der multiplikativ invertierbaren Elemente.
 
 
Primzahl55 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis
Vielen Dank.
Jetzt ist alles klar smile
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