Fehlende Eckpunkte einer quadratischen Pyramide

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Tobi348 Auf diesen Beitrag antworten »
Fehlende Eckpunkte einer quadratischen Pyramide
Von einer regelmäßigen quadratischen Pyramide kennt man A(7/-5/-3) und die Spitze S(9/6/zS). Der Achsenschnitt SBD liegt in der Ebene e: 2x-y-2z+2=0. Berechnen Sie die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte!

Ich komme da gar nicht weiter. Aus der Ebenengleichung kann man den Normalvektor (2/-1/-2) ablesen, weiter komme ich aber nicht.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

1) Nun, zunächst mal kann man bestimmen, einfach durch Einsetzen in die Ebenengleichung.

2) Der Mittelpunkt der Quadratgrundseite liegt ebenfalls in , genauer gesagt ist er der Fußpunkt des von gefällten Lotes auf .

3) ist auch Mittelpunkt von , damit hat man auch .

4) liegen auf der Gerade durch , die sowohl senkrecht zu als auch liegt, und für die Entfernungen gilt , damit sind auch bestimmbar.
Tobi348 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!!
zS ist also 7.
Bei M bin ich noch verwirrt. Kann ich aus dem Normalvektor und dem Punkt A eine Geradengleichung konstruieren und die dann mit der Ebene e schneiden?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja: Der Normalenvektor von ist zugleich Richtungsvektor der Lotgerade, also kannst du diese Gerade in Parameterdarstellung aufstellen. Den passenden Parameter zum Schnittpunkt mit findest du dann wiederum durch Einsetzen dieser Parameterdarstellung in die Ebenengleichung von .
Tobi348 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar!

Für die Gerade bekomme ich also und wenn ich es mit e schneide komme ich auf t=-3.
In g eingesetzt ist das dann .
.

Brauche ich für B dann das Kreuzprodukt von AM und SM?
Tobi348 Auf diesen Beitrag antworten »

Also und .
.
.

Stimmt das bis jetzt so?
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, bis hierhin soweit alles richtig. Ich würde vielleicht noch den Richtungsvektor von normieren, damit könnte dann der Geradenparameter direkt als Entfernung von gedeutet werden.


Ein Wort (vielleicht werden es auch ein paar mehr) noch zur Orientierung:

Wenn wir die Eckpunkte von wie üblich im mathematisch positiven Drehsinn anordnen, und das beim Betrachten der Grundebene von aus, dann gilt nach Rechte-Hand-Regel, dass die Vektoren und in dieselbe Richtung zeigen.

Das heißt für deine -Geradengleichung, dass positive -Werte den Strahl repräsentieren, und negative -Werte den Strahl .
Tobi348 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!

Wenn ich den Einheitsvektor von bilde, bekomme ich .

Also ist .

Und für B nehme ich dann , weil es in die entgegengesetzte Richtung geht?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genauso ist es. Freude
Tobi348 Auf diesen Beitrag antworten »

Super, dann ist also B= (-2,6,-3).

Dann ist noch nach dem Winkel gefragt, den die Seitenflächen ADS und DSC miteinander einschließen und da habe ich keine Ahnung, wie ich vorgehen kann...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Möglichkeit zur Berechnung dieses Winkels :

Es ist , wobei der Winkel ist, den die beiden nach außen zeigenden Normalenvektoren der besagten beiden Seitenflächen einschließen.

Diese Normalenvektoren kannst du ja aus den jeweils drei Eckpunkten bestimmen (Kreuzprodukt).
Tobi348 Auf diesen Beitrag antworten »

Der erste Normalvektor ist also DA x DS und ist der zweite dann DS x DC?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist eine passende Wahl, beide zeigen auch nach außen. Freude
Tobi348 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also:







HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Rechnungen kann ich nicht nachvollziehen, z.B. sehe ich das nirgendwo sowie .

Übrigens hast du dich auch oben bei verrechnet, es ist .

Außerdem ist das Gradsymbol bei Winkeln anzufügen, wenn man Grad meint!!! Ganz ohne Einheit ist das nämlich immer als Radiant zu lesen! unglücklich
Tobi348 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich hatte B und D verwechselt.






°
180° -77,32°=102,68°
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, habe ich auch raus.
Tobi348 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!

Es gibt noch eine letzte Frage (dann ist das Beispiel zum Glück fertig), und zwar:

"Welches Problem stellt sich bei der Berechnung des Winkels zwischen einer Seitenkante und der Grundfläche, wenn man die Formel verwendet und den berechneten Winkel als gesuchten Winkel annimmt? Wie lösen Sie dieses Problem?"
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hasse solche Fragen: Woher soll ich denn wissen, was die mit -Formel meinen und was die da konkret einsetzen wollen?

Stell konkrete Fragen, also "Berechne den Winkel zwischen der und der Kante und der Grundseite", damit kann ich was anfangen.
Tobi348 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, gut, ich kann mit der Frage auch nicht wirklich viel anfangen. Ich nehme an, die Formel die gemeint ist ist .

Aber danke für deine Hilfe bei dem Beispiel!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich stimme HAL 9000 ausdrücklich zu: Wie soll jemand wissen, was andere vorhaben und dabei für Probleme bekommen? Aber ich könnte mir vorstellen, was gemeint ist. Beim Winkel zwischen Gerade und Ebene verwendet man den Richtungsvektor der Geraden und den Normalenvektor der Ebene. Der Winkel zwischen den beiden Vektoren (man darf ihn als spitz annehmen, gegebenenfalls Übergang zum Nebenwinkel) ist jedoch nicht der Winkel zwischen der Geraden und der Ebene. Vielmehr muß man ihn noch von 90° subtrahieren. Wegen kann man auch eine Formel mit dem Sinus aufstellen.
Im konkreten Fall kann man aus Gründen der Symmetrie der Pyramide natürlich auch den Winkel zwischen den Vektoren und berechnen.
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