Satz von Gauss (?)

17.04.2018, 13:06	Thomas7	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Gauss (?) Hallo zusammen Ich habe folgende Aufgabe vor mir: Für ein glattes Gebiet $\begin{eqnarray} \Omega \subset \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ mit Rand $\begin{eqnarray} \Psi \end{eqnarray}$ und glatten Funktionen: $\begin{eqnarray} f, g: \Omega \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u, v: \Omega \rightarrow \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P, \omega: \Omega \rightarrow \mathbb R^{3 \times 3} \end{eqnarray}$ Ausserdem ist die Divergenz einer Matrix definiert durch: $\begin{eqnarray} ( \nabla \cdot \omega)_i = \sum_{j=1}^3 \partial_{xj} \omega_{i, j} \end{eqnarray}$ Wieso gilt nun folgende Formel? $\begin{eqnarray} \int_{\Omega} f(x) \nabla \cdot u(x) dx = \int_{\Psi} f(x) u(x) \cdot n(x) ds_x - \int_{\Omega} \nabla f \cdot u(x) dx \end{eqnarray}$ Danke für jede Hilfe! PS: Wie der Titel bereits besagt, denke ich, dass man hier den Satz von Gauss anwenden könnte, oder? Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen
17.04.2018, 15:43	Krombopulus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Gauß'scher Integralsatz war schon gut. Feht nur noch etwas partielle Ableitung . Dank dem Gauß'schen Integralsatz gilt: $\begin{eqnarray} \int_\Omega \nabla \cdot (f(x) u(x)) dx = \int_\Psi f(x) u(x) \cdot n(x) ds_x \end{eqnarray}$ Partielle Ableitung des zu integrierenden Ausdrucks der linken Seite: $\begin{eqnarray} \nabla \cdot (f(x) u(x))= f(x) \nabla \cdot u(x) + u(x) \cdot \nabla f(x) \end{eqnarray}$ Das setzen wir oben links wieder ein: $\begin{eqnarray} \int_\Omega f(x) \nabla \cdot u(x) + u(x) \cdot \nabla f(x) dx = \int_\Psi f(x) u(x) \cdot n(x) ds_x \end{eqnarray}$ Und nun bleibt noch ganz einfache Umformung . Viele Grüße!
19.04.2018, 10:42	Thomas7	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Krombopulus Also wenn ich dich richtig verstanden habe, steht nachher das ursprüngliche Integral links = 0, oder habe ich da etwas falsch zusammengerechnet?
19.04.2018, 13:21	Krombopulus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Thomas7, Ich bin mir gerade nicht sicher, was du mit dem ursprünglichen Integral meinst. Die Stelle an der ich anfange, oder referenzierst du auf deinen Ausgangsbeitrag. Null wird da eigentlich nichts. In deinem Ausgangsbeitrag möchtest du ja eine Gleichung verifizieren. Übrigens eine sehr tolle Gleichung, die bei numerischen Methoden von essentieller Bedeutung ist! Aber im Grunde nur eine Folge des Gauß'schen Integralsatzes ist. Ach der Gauß, was hat der eigentlich nicht gemacht. Ich habe im Grunde den Gauß'schen Integralsatz für die Funktion $\begin{eqnarray} g(x)=f(x)u(x) \end{eqnarray}$ angewandt und umgeformt, bis die Formel dastand die es zu verifizieren galt. Nicht weil ich ein gewiefter Mathematiker bin, sondern weil mir diese Herleitung sehr oft über den Weg gelaufen ist. Ich schätze du beschäftigst dich im Studium mit Finiten Elementen oder Finiten Volumen? Da taucht diese Formel zur partiellen Integration eigentlich immer auf! Sie erspart dir nämlich die direkte Berechnung der Divergenz einer komplizierten Funktion, die man stattdessen durch Ansatzfunktionen beschreibt und erlaubt dir, eben dies durch die Ableitung der Ansatzfunktionen zu vermeiden, da du ja eigentlich nur an dem Integral über die Divergenz interessiert ist. Ich bin offen für Folgefragen, da ich mir nicht ganz sicher bin, was du mit "ursprüngliches Integral links =0" meinst.
19.04.2018, 19:39	Thomas7	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Krombopulus Du hast meine Frage voll und ganz beantwortet! Mir war nur nicht ganz klar, worin die Anwendung liegt und wie du die Umformungen gemacht hast... Übrigens, ich habe dank deiner Methode mittlerweile auch andere Umformungen anstellen können, vielen Dank! Bei der Umformung hier stehe ich aber noch etwas auf dem Schlauch...wie würdest du da umformen? $\begin{eqnarray} \int_{\Omega} f(x) \nabla g(x) dx = \int_{\Psi} f(x) g(x) n(x) ds_x - \int_{\Omega} \nabla f(x) g(x) dx \end{eqnarray}$

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