Bogenmaß, Gradmaß, Grad und Radiant

17.04.2018, 17:20

steviehawk

Bogenmaß, Gradmaß, Grad und Radiant

Meine Frage:
Hallo zusammen,

Ich hatte heute eine interessante Diskussion zu den obigen Begriffe, bei der gerne noch ein paar Ansätze und Erklärungen vom Forum hören würde.

Winkel lasse sich ja durch verschiedene Möglichkeiten beschreiben. Beispielsweise kann ich einen Winkel wie folgt angeben:

$\begin{eqnarray*} \alpha = 90^{\circ} \end{eqnarray*}$

Nun ist der Winkel im s.o.g. Gradmaß angegeben. Die Maßzahl ist die 90 und die Einheit heißt Grad, und bekommt den Kringel als Zeichen.

Nun kann ich den Winkel aber auch im s.o.g. Bogenmaß angeben und hierbei wurde diskutiert, wie es sich mit den Einheiten verhält.

Meinung 1: Winkel im Bogenmaß haben keine Einheit.

Meinung 2: Winkel im Bogenmaß haben die Einheit Radiant.

Erklärung zu Meinung 1:
Wenn man sich mal anschaut, wo das Bogenmaß herkommt, dann sieht man, dass es eine Längenberechnung ist. Man überlegt, wie lange ist der Kreisbogen bei einem vorgegeben Winkel. Für einen Winkel von 90° erhalte ich ein Viertel des gesamten Umfangs, welcher 2 pi ist. Also $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Es gilt ja: $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{360^{\circ}} = \frac{x}{2 \pi} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das jetzt umstelle habe ich: $\begin{eqnarray*} x = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2 \pi \end{eqnarray*}$

damit ist ja aber $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ohne Einheit, denn die Einheit Grad kürzt sich weg und $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ hätte keine Einheit.

man schreibt daher einfach: $\begin{eqnarray*} \alpha = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Erklärung zu Meinung 2:

Wenn ich 1 km habe und rechen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1000} 1 km \end{eqnarray*}$ , dann habe ich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1000} km = 1 cm \end{eqnarray*}$

Durch Vielfache der alten Einheit kann ich mir neue bauen.

Nun gehe mit den Winkeln genau so vor. Ich habe 360° . Nun rechne ich: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2 \pi} * 360^{\circ} = 1 rad \end{eqnarray*}$

wobei rad für Radiant steht und das meine Neue Einheit ist. Ich schreibe also: $\begin{eqnarray*} \alpha = \frac{\pi}{2} rad \end{eqnarray*}$ .

Nun gilt wie bei cm und km: $\begin{eqnarray*} \alpha_{rad} = \frac{\pi}{2} rad = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{2 \pi} \cdot 360^{\circ} = \dots = 90^{\circ} = \alpha_{deg} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Danke fürs Lesen! Ich freue mich über einen anregenden Austausch!

Beste Grüße Stevie

EDIT: Ich habe das Gefühl, dass in Meinung 1 der Fehler begangen wird, dass die physikalische Größe Winkel mit der reinen Maßzahl (dem Zahlenwert vor der Einheit, also x) gleichgesetzt wird.
Eine solche physikalische Größe besteht aber immer aus Maßzahl und Einheit. Die Maßzahl - das x - erhalte ich durch die obige Rechnung wo natürlich x ohne Einheit ist, es ist ja auch nur die Maßzahl. Die Einheit rad kommt aber dann eigentlich noch extra dazu..

Hoffe es bringt jemand Licht ins Dunkle Big Laugh

17.04.2018, 17:42

Steffen Bühler

Bogenmaß, Gradmaß, Grad und Radiant

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