Teilmenge und Teilbarkeit

18.04.2018, 00:43	angel111	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilmenge und Teilbarkeit Wie kann ich beweisen, dass es in jeder fünfelementigen Menge ganzer Zahlen eine dreielementige Teilmenge gibt mit der Eigenschaft, dass die Summe ihrer Elemente durch 3 teilbar ist. Hat jemand Ideen?
18.04.2018, 08:49	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist ja naheliegend, die fünf Zahlen modulo 3 zu betrachten, dann gibt es zwei mögliche Fälle: 1) In jeder der drei Restklassen ist mindestens eine der fünf Zahlen vertreten. 2) In allen anderen Fällen gibt es (mindestens) eine "leere" Restklasse, und demzufolge sind in einer der beiden anderen Restklassen mindestens drei der fünf Zahlen vertreten. In jedem der beiden Fälle sollte es nun leicht möglich sein, drei Zahlen mit der gewünschten Eigenschaft zu finden.
18.04.2018, 15:53	angel111	Auf diesen Beitrag antworten »
ok ja, aber wie kann ich das formal hinschreiben und beweisen?
18.04.2018, 15:55	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal solltest du die Gedanken zuende bringen. Wenn du das nach der 95%-Vorarbeit nicht schaffst, dann weiß ich auch nicht mehr weiter, außer auch noch die restlichen 5% zu verraten.
20.04.2018, 09:47	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Null Reaktion... Ok, bringen wir es so zum Ende: Fall 1) Wir wählen einfach aus jeder Restklasse eine Zahl. Für die Summe dieser drei Zahlen gilt dann $\begin{eqnarray} \equiv 0+1+2 = 3\equiv 0\bmod 3 \end{eqnarray}$ . Fall 2) Es sei $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ die Restklasse mit mindestens drei der fünf Zahlen. Somit können wir aus dieser Restklasse drei Zahlen wählen, und für deren Summe gilt $\begin{eqnarray} \equiv k+k+k = 3k\equiv 0\bmod 3 \end{eqnarray}$ . EDIT: Die Crossposting-Seuche nimmt langsam überhand: http://matheplanet.com/default3.html?cal...hp?topic=235288 Aber auch dort mit zunächst mit einem Tipp, der nicht sofort eine Rundumversorgung ist.

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