Schubfachprinzip in einem Rechteck

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bambohambo Auf diesen Beitrag antworten »
Schubfachprinzip in einem Rechteck
Guten Tag, ich sitze gerade an folgender Aufgabe:
„Zeigen Sie, dass für jede Wahl von sechs Punkten in einem Rechteck mit Seitenlängen 3 und 4 es immer zwei verschiedene Punkte mit Abstand gibt.“

Ich habe mir gedachte die Aufgabe löst man am besten mit dem Schubfachprinzip, also ich teile das Rechteck
in fünf Abschnitte ein und zeige dann, dass in einem Abschnitt dann zwei Punkte sein müssen, die dann höchstens den maximalen Abstand haben können.
Jetzt fällt mir leider nur keine sinnvolle Aufteilung ein!
Ich habe es erst an Rechtecke gedacht, wobei für die dann gelten müsste , damit der maximale Abstand dann höchstens 5 ist. Dann bieten sich natürlich 2*1 Rechtecke an, von denen ich dann aber leider 6 brauche. Ich habe auf einem Blatt Papier noch etwas rumprobiert, auch mit Dreiecken aber ich stehe irgendwie auf dem Schlauch und komme auf nix!

Hat jemand eine Idee für eine sinnvolle Einteilung? smile




Wenn schon Schulmathematik, dann scheint mir der Beitrag in der Geometrie besser aufgehoben, daher verschoben.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

In der Tat knifflig: Den herkömmlichen Lösungsversuchen mit derartigen Flächenaufteilungen + Schubfachprinzip (so wie du es skizziert hast) scheint sich diese Problemstellung zu entziehen.

Ich sehe jetzt aber auch kein Gegenbeispiel, so dass die Aussage wohl richtig ist (bei fünf statt sechs Punkten wäre ein Gegenbeispiel kein Problem: vier Punkte in die Ecke, einen in die Mitte, ergibt minimalen Abstand ).

Muss man sich wohl was anderes einfallen lassen - es sei denn, man kann den Aufgabensteller überzeugen, doch sieben statt sechs Punkte zu spendieren. Big Laugh

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Hmm, folgende Idee: Beweis indirekt, d.h., wir nehmen an dass es eine Konfiguration gibt, wo der minimale Abstand größer ist als .

Wir unterteilen nun das Rechteck 3x4 in 12 Einheitsquadrate. Dann dürfen in keinem Quadrat bzw. auch in keinem Paar benachbarter Quadrate (!) mehr als ein Punkt liegen, ansonsten haben wir einen Abstand . "Benachbart" bedeutet dabei, dass sie eine Seite gemeinsam haben.

Das geht nur in folgender Konfiguration

code:
1:
2:
3:
x o x o
o x o x
x o x o
Schneiden wir die rechte Spalte ab, haben wir dann fünf Punkte in einem 3x3-Quadrat. Und dort finden wir durch Aufteilung in vier 1.5x1.5-Quadrate aber zwei Punkte im Abstand . Augenzwinkern
 
 
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

wäre das eine Idee verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@Werner

Eine konkrete Konfiguration nützt ja leider nur dann etwas, wenn sie ein Gegenbeispiel darstellt. Was deins aber nicht ist, denn die beiden roten Punkte in der Mitte haben ja Abstand .


P.S.: Ich hatte meinen Beitrag oben gerade editiert, hat sich wohl überkreuzt.
bambohambo Auf diesen Beitrag antworten »

Super, vielen Dank für die Lösung!
Ziemlich cooler Beweis!
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