Satz von Bayes

18.04.2018, 19:56

LauraundLisa

Satz von Bayes

Meine Frage:
Hallo. Ich übe gerade den Satz von Bayes und ich habe drei Aufgaben, die ich gerne hier besprechen würde.

Aufgabe 1) Die Aufgabe mit der Urne (siehe Bild)
Aufgabe 2)
Zwei Taxigesellschaften A und B sind in einer Stadt tätig. Die Taxis der Gesellschaft A sind
grün, die Taxis der Gesellschaft B sind blau. 85% der Taxis kommen von der Gesellschaft B,
die ubrigen 15% der Taxis stammen von der Gesellschaft A. Eines nachts kommt es zu einem
Unfall mit einem Taxi, der Fahrer des Taxis begeht Fahrerflucht. Ein Zeuge sagt aus, dass es
sich um ein grunes Taxi gehandelt hat.
Der Zeuge wird auf seine F¨ahigkeit untersucht, nachts grune und blaue Taxis zu unterscheiden.
In 80% der F¨alle identifiziert der Zeuge die Farbe richtig, in 20% der Fälle macht der Zeuge
einen Fehler.
a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um ein grünes Taxi der Gesellschaft A
handelt?
b) Wir nehmen jetzt an, dass der Zeuge ausgesagt hat, das Taxi sei blau gewesen. Wie hoch
ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Taxi auch wirklich blau gewesen ist?

Aufgabe 3) Die Aufgabe mit den Signalen. Aufgabenstellung:
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Signal, das als Nutzsignal angezeigt wird, tatsächlich
ein (störungsüberlagertes) Nutzsignal?

Meine Ideen:
zu Aufgabe 1) Ich fand die Aufgabe eigentlich ziemlich einfach. Als Ergebnis habe ich 1/2=0,5% stimmt das ?

zu Aufgabe 2) Diese Aufgabe fand ich etwas schwieriger, daher würde ich gerne mein Kompletten Lösungsweg zeigen.
a) $\begin{eqnarray*} P(G)=15% <br /> P(B)=85%<br /> P(r|G)=0,8<br /> P(r|B)=0,2<br /> P(G|R)=? \end{eqnarray*}$

Wende Satz von Bayes an $\begin{eqnarray*} P(G|R)=\frac{12}{29}=41,4% \end{eqnarray*}$

b) Analoges vorgehen $\begin{eqnarray*} P(B|R)=0,9577=95,77% \end{eqnarray*}$

erstaunliches ergebnis. Stimmt das ?

Aufgabe 3) Hier habe ich Schwierigkeiten den Text zu verstehen.
Aus dem erstem Satz würde ich sagen P(NSG)=0,9 und P(SG)=0,1
NSG= Nutzungssignal SG=Signal. Aus den nächsten sätzen folgere ich :
P(NSG|ST)=0,98,P(NSG|RST)=0,1, P(SG|ST)=0,02 und P(SG|RST)=0,9
ST= Störung, RST=Reine Störung
Gesucht ist: P(ST|NSG) ? aber ich bin mir nicht sicher.. irgendwas stimmt nicht.. unglücklich

18.04.2018, 20:51

Lauraundlisa

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Satz von Bayes anwendung
Zu Aufgabe 3)

Wir haben ein anderen Ansatz

90% der Signale sind Nutzungssignale mit einer störung überlagert.
10% der signale sind reine störungen.

P(Nsg mit störung überlagert)=0,9
P(reine störung)= 0,1
P( Nsg |Nsg mit störung überlagert )=0,98
P( Nsg | Reine Störung) = 0,1
P( Nsg mit störung überlagert | Nutzsignal)=?

Ist dieser besser ?

19.04.2018, 07:03

Lauraundlisa

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Satz von Bayes anwendung
Jemand eine idee? unglücklich

19.04.2018, 09:22

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Satz von Bayes anwendung
Zu 1) Das Ergebnis ist richtig, also hoffe ich mal, dass es der (nicht angeführte) Rechenweg auch ist.

Zu 2) Zunächst ein LaTeX-Hinweis: Prozentzeichen innerhalb Formeln mit \% eintippen.

Die Ergebnisse sind richtig. Ich hätte mir mal noch gewünscht, dass du die verwendeten Ereignisse vorher einführst: Bei $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ mag das angesichts des verwendeten Buchstabens noch einigermaßen selbsterklärend sein, aber dass

$\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ... Zeuge meint ein grünes Auto zu erkennen

in a) bedeutet, sollte man nicht erst aus den Formeln rekonstruieren müssen. Zumal bei b) dann ein anderes $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ gemeint ist...

Zu 3) In deinem zweiten Versuch hast du es ziemlich klar getroffen - keine Einwände. Ich würde nur ergänzen, weil das aus dem bloßen Kürzel nicht sonderlich gut hervorgeht:

Mit "Nsg" meinst du, dass die Anlage das Signal als Nutzsignal anzeigt.

19.04.2018, 10:07

Lauraundlisa

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Satz von Bayes anwendung
Hey Hal9000 danke für die Antwort. Ja du hast recht ich sollte das alles besser definieren.
Mein Ergebnis für die 3.Aufgabe ist dann 98,9% ist ziemlich hoch geschockt

19.04.2018, 10:34

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ergebnis ist in Ordnung.

Was die immer wieder von dir geäußerte "Erstaunlichkeit" der Ergebnisse betrifft, gehe ich mal auf 1a) zurück:

Da waren dir womöglich die 41.4% eine ziemlich (zu?) geringe Verlässlichkeit, aus der Zeugenaussage ein wirklich grünes Taxi zu schließen. In der Tat, aber was kann man da machen? Z.B. mehrere Zeugen befragen! Wenn man $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Zeugen mit der gleichen Wahrnehmungsfähigkeit 80%/20% hat, die aber unabhängig voneinander beobachten (d.h. auch sich nicht gegenseitig absprechen), und aber alle dann ein grünes Taxi melden, dann ändert sich die bedingte Wahrscheinlichkeit zu

$\begin{eqnarray*} \frac{0.15\cdot 0.8^n}{0.15\cdot 0.8^n+0.85\cdot 0.2^n} = \frac{3}{3+17\cdot 0.25^n} \end{eqnarray*}$

mit den Werten 41.4%, 73.8%, 91.9%, 97.8% für n=1,2,3,4 Zeugen, d.h. eine immer größere statistische Sicherheit. Augenzwinkern

19.04.2018, 20:38

Lauraundlisa

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso ok cool danke dafür smile

In der Aufgabe 3) hat es was zu bedeuten das wenn eine reine störung empfangen wird fälschlicherweise 0,1 das Signal als NSG empfangen wird?
Bedeutet das eigentlich nicht das ich schauen muss : wenn eine reine störung empfangen wird wie wahrscheinlich es ist das es ein NSG ist ?

19.04.2018, 21:17

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine reine Störung ist nie ein Nutzsignal. Ich erinnere nochmals, was du hier

Zitat:

Original von Lauraundlisa
P( Nsg | Reine Störung) = 0,1

mit "Nsg" meinst:

Zitat:

Original von HAL 9000
Mit "Nsg" meinst du, dass die Anlage das Signal als Nutzsignal anzeigt.

Neue Frage »

Antworten »

Satz von Bayes

Verwandte Themen