Wachstum (und Fibonacci-Folge)

18.04.2018, 21:21

Strahl

Wachstum (und Fibonacci-Folge)

Hallo,

Im Unterricht haben wir die Formel der Fibonacci-Folge hergeleitet. Der Ansatz war dabei:

$\begin{eqnarray*} f_{n} = C\cdot \lambda ^{n} \end{eqnarray*}$

Bei der Fibonacci-Folge addiert man ja eigentlich nur die 2 letzten Zahlen und erhält dann eine neue. Ist das schon exponentielles Wachstum? Oder kann man durch eine Exponentialgleichung auch nicht-exponentielles Wachstum beschreiben? Falls letzteres gilt, bedeutet das, dass jede "Art" von Gleichung unterschiedliche Wachstumsprozesse beschreiben kann?

Die Antwort meines Dozenten fand ich nicht sonderlich befriedigend Hammer

Könnte mir das jemand erklären?

Vielen Dank für alle Antworten!

18.04.2018, 21:42

sibelius84

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Hi,

ja, es ist exponentielles Wachstum. Ich glaube, $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt 5}\left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right)^n \end{eqnarray*}$ kommt in der Formel vor, oder? Die Variable n als Exponent an einer Basis >1, das ist exponentielles Wachstum!

Man kann durch eine Exponentialgleichung nur exponentielles Wachstum und exponentiellen Zerfall beschreiben, aber keine andere Art von Wachstum.

LG
sibelius84

18.04.2018, 22:45

Strahl

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Zitat:

Original von sibelius84
Ich glaube, $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt 5}\left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right)^n \end{eqnarray*}$ kommt in der Formel vor, oder?

Ja genau!

Danke nochmals

19.04.2018, 16:16

rumar

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RE: Wachstum (und Fibonacci-Folge)
Die Fibonacci-Zahlenfolge, die insbesondere durch die Rekursionsformel $\begin{eqnarray*} a_n\ :=\ a_{n-1}+a_{n-2} \end{eqnarray*}$ charakterisiert ist, definiert kein "exaktes" exponentielles Wachstum, aber jede Zahlenfolge mit dieser Rekursionsformel kann für große Werte von n sehr gut (und immer besser, je größer der Index n wird) durch ein exponentielles Wachstumsgesetz angenähert werden.

Für die exakte Wiedergabe der Fibonaccifolge benützt man zwei exponentielle (oder "geometrische") Zahlenfolgen, nämlich eine monoton wachsende und eine monoton fallende, deren Differenzenfolge dann die Fibonaccifolge (die nur ganzzahlige Glieder hat) ergibt.

19.04.2018, 19:54

sibelius84

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Stimmt, du hast völlig Recht. Ich war vielleicht etwas grob. Generell kann man sagen, dass Rekursionsgleichungen (mit festem k = Rekursionsgrad) der Form

$\begin{eqnarray*} a_{n+k}=\sum_{j=0}^{k-1} \lambda_j a_{n+j} \end{eqnarray*}$

häufig (allgemeine, oder mit ausgerechneten $\begin{eqnarray*} \alpha_j \end{eqnarray*}$ an gewisse vorgegebene Startwerte $\begin{eqnarray*} a_0,\ldots,a_{k-1} \end{eqnarray*}$ angepasste) Lösungen der Form

$\begin{eqnarray*} a_n=\sum_{j=1}^k \alpha_j \zeta_j^n \end{eqnarray*}$

mit gewissen Zahlen $\begin{eqnarray*} \zeta_1,\ldots,\zeta_k \end{eqnarray*}$ haben. Also quasi eine Summe von Exponentialausdrücken. Darauf wollte ich hinaus. (Um diesmal hoffentlich akkurat zu sein: Es sind als Summanden allgemein Terme der Form $\begin{eqnarray*} n^p\zeta_j^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0\leq p \leq k,\; \zeta_j\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ möglich.) Für n gegen unendlich setzt sich immer der stärkste, d.h. betragsgrößte durch. Augenzwinkern

20.04.2018, 09:27

HAL 9000

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Ja, es ist $\begin{eqnarray*} f_n = a_n - b_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} b_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ eine alternierende, und im Betrag streng monoton fallende Nullfolge ist, für die bereits $\begin{eqnarray*} |b_0| < \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ gilt, wissen wir $\begin{eqnarray*} a_n-\frac{1}{2} < f_n < a_n+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Da zudem $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ immer ganzzahlig ist, kann man daraus unmittelbar

$\begin{eqnarray*} f_n = \left\lfloor a_n+ \frac{1}{2} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{1}{\sqrt{5}}\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n + \frac{1}{2} \right\rfloor \end{eqnarray*}$

folgern, d.h. $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ auf die nächstliegende ganze Zahl gerundet ergibt $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Verflucht, hatte ich doch in der Endformel vergessen, das 1/2 anzugeben - korrigiert. Augenzwinkern

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