Eigenwerte u Eigenvektoren

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Chloe 18 Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte u Eigenvektoren
Meine Frage:
Geben Sie alle Eigenwerte u Eigenvektoren für folgende lineare Abb. an:

a) Konjugation c:C---->C, t-> mit C als R-Vektorraum
b) Einsetzung :K[t]-->K[t]:P(t)-->P(a) mit a und mit K[t] als K-Vektorraum
c) Transponierung k: Mat(nxn)(K)-->Mat(nxn)(K), A--> mit Mat(nxn)(K) als K-Vektorraum und mit n>=2
d) Ableitung ':K[t]-->K[t], f-->f' als Vektorraum (':K[t]-->K[t] mit --->

Meine Ideen:
ich weiß dass:

c) Die Transponierte Matrix A' besitzt dieselbe char. Polynom und damit dieselben Eigenwerte wie A.

Sei A= dann
A'=

det(tE-A)=det(tE-A')

wie gehts weiter?

zu a) Die EW von sind gerade die komplex konjugierten der EW von A.


Hat jemand ein paar Ideen?
Chloe 18 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte u Eigenvektore
a) Konjugation c:C---->C, t-> mit C als R-Vektorraum
Chloe 18 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte u Eigenvektoren
Sei A= dann
A'=

det(tE-A)=det(tE-A')

wie gehts weiter?

zu a) Die EW von sind gerade die komplex konjugierten der EW von A.


Hat jemand ein paar Ideen?[/quote]
Chloe 18 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte u Eigenvektoren
[quote]Original von Chloe 18
Sei A= dann
A'=

det(tE-A)=det(tE-A')

kann ich mit Buchstaben, also a,b,c,d arbeiten oder soll ich eine konkrete Matrix schreiben.?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Chloe 18
a) Konjugation c:C---->C, t-> mit C als R-Vektorraum

Gemeint ist wohl mit als -Vektorraum.

Diese Abbildung kann bei Wahl geeigneter Basisvektoren in (da würden sich wohl natürlicherweise und anbieten) durch eine reelle 2x2-Matrix repräsentiert werden. Es geht um die Eigenwerte genau dieser Matrix!

Zitat:
Original von Chloe 18
b) Einsetzung :K[t]-->K[t]:P(t)-->P(a) mit a und mit K[t] als K-Vektorraum

Es geht wohl um ein festes und mit dem dann um die Abbildung

.

Hier ist zu beachten, dass die Funktionswerte ja nur Konstantpolynome sind, d.h., es wird nur ein kleiner Teil des Bildbereichs wirklich genutzt. Was bedeutet das für die Eigenvektoren?

c) hatten wir letztens erst angerissen: https://www.matheboard.de/thread.php?threadid=584842

d) Einfach ansetzen, was ein Polynom erfüllen muss, damit es EV zum EW ist, und was das dann für die Koeffizienten bedeutet.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

bei a): du musst den Raum 'koordinatisieren' (z.B. , 1 ) und dir dann überlegen, was die genannte Abbildung mit diesen Vektoren tut. Daraus kannst du die Abbildungsmatrix aufstellen und dann deren Eigenwerte berechnen.

Bei b): Kann ich nicht helfen, weil nicht lesbar ist, wovon a ein Element sein soll.

Bei c) musst du dir überlegen, welche Matrizen beim Transponieren gleich bleiben bzw. ganz allgemein: ein Vielfaches der Ausgangsmatrix als Ergebnis liefern. (Für welche Matrizen gilt mit einem ?)

Zu d) entdecke ich gerade, dass HAL 9000 inzwischen auch geantwortet hat :-D

LG
sibelius84
 
 
Chloe 18 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei b): Kann ich nicht helfen, weil nicht lesbar ist, wovon a ein Element sein soll.


Es geht wohl um ein festes und mit dem dann um die Abbildung

.
Chloe 18 Auf diesen Beitrag antworten »

zu b)

ein Polynom vom Grad 0 hat keine Nullstellen.
Die konstante Funktion „ f(x) = 0 für alle x“ ist ebenfalls ein Polynom, aber
mit unendlich vielen Nullstellen.
Meine Frage ist: in meinem Fall ist das eine Polynomfunktion, d.h. es gibt unendlich viele Nullstellen?
Chloe 18 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei c) musst du dir überlegen, welche Matrizen beim Transponieren gleich bleiben bzw. ganz allgemein: ein Vielfaches der Ausgangsmatrix als Ergebnis liefern. (Für welche Matrizen gilt mit einem ?)

Solche Matrix ist eine orthogonale Matrix, z B A=
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu b):

Es ist gut, die Nullstellen zu untersuchen! smile Die Polynome P, die a als Nullstelle haben, sind gerade diejenigen, die von der Form P=(X-a)·Q mit einem weiteren Polynom Q sind. (Also alle Vielfachen des Linearfaktors X-a.) Das sind dann Eigenvektoren - weißt du, zu welchem Eigenwert?
Die 0 zählt nie als Eigenvektor. Auch nicht bei Polynomen. Jedes Polynom ungleich Null (!) hat endlich viele Nullstellen.
Es gibt übrigens auch noch ein paar Eigenvektoren zum Eigenwert 1. Augenzwinkern

Zu c):
Die Matrix ist auch orthogonal, und mit der klappt es nicht.
Die Matrix ist hingegen nicht orthogonal, und mit der klappt es. Sie ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 1. Woran könnte das liegen?
Bzgl. Transposition gibt es auch noch Eigenvektoren (bzw. "Eigenmatrizen") zum Eigenwert -1.
Chloe 18 Auf diesen Beitrag antworten »

c) Alle was ich über orthogonale Matrizen weiß: Eine orthogonale Matrix ist eine quadratische, reelle Matrix, deren Zeilen- und Spaltenvektoren paarweise orthonormal zueinander sind.
Folgende Bedingungen müssen erfüllt sein
1.Die Vektoren sind orthogonal zueinander
2.Die Vektoren sind normiert(die Länge 1 besitzt)
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sibelius84
Die Matrix ist auch orthogonal, und mit der klappt es nicht.
Die Matrix ist hingegen nicht orthogonal, und mit der klappt es.


Ich finde es ganz gut, dass du aufschreibst, was du über orthogonale Matrizen weißt. Aber leider spielen die hier gar nicht so die große Rolle. Schau dir mal die untere Matrix "10-5-5-10" an. Sie ist offenbar nicht orthogonal, da die Zeilen / Spalten weder normiert noch zueinander orthogonal sind. Welche Eigenschaft dieser Matrix könnte es sein, die ihr ermöglicht, als Eigenvektor der Transpositionsabbildung zum Eigenwert 1 zu fungieren?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sibelius84
Ich finde es ganz gut, dass du aufschreibst, was du über orthogonale Matrizen weißt. Aber leider spielen die hier gar nicht so die große Rolle.

Gleiches kann man auch über die Auslassungen zu den Polynomnullstellen sagen. Ich wüsste nicht, wo das bei den (Polynome betreffenden) Teilaufgaben hier relevant sein soll.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich war auch zunächst in Versuchung, dergleichen anzumerken. Aber wenn ich nichts übersehen habe, gilt Folgendes:

Betrachte beispielsweise das Element a:=2 aus |R und das Polynom p:=t-2 aus |R[t] (oder irgendein beliebiges Vielfaches davon), und den zugehörigen Einsetzhomomorphismus e: |R[t]->|R[t]. Dann ist e(p)=0=0·p, also ist p ein Eigenvektor zum Eigenwert 0.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ja, stimmt - an Eigenwert 0 hatte ich zunächst nicht gedacht. verwirrt
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