Ähnliche Aufgabe finden

18.04.2018, 23:09

xXxxoo

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Ähnliche Aufgabe finden

Hallo,

weiß jemand, wo ich ähnliche Aufgaben zu dieser finden kann?

Sei $\begin{eqnarray*} f : (0, 1) \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine (auf ihrem Definitionsbereich) differenzierbare Funktion. Zeigen oder widerlegen Sie:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\uparrow1} f'(x) = \infty \Rightarrow \lim_{x\uparrow1} f(x) = \infty \end{eqnarray*}$

18.04.2018, 23:23

HAL 9000

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Ähnliche Aufgaben braucht man nicht unbedingt, es helfen Kenntnisse gängiger Funktionen. Hier z.B. würde ich mal die Wurzelfunktion $\begin{eqnarray*} g(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ unter die Lupe nehmen:

Für die gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{x\downarrow 0} g(x) = 0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \lim_{x\downarrow 0} g'(x) = \infty \end{eqnarray*}$ .

Das geeignet transformiert (in den Punkt 1 verschoben, geeignet gespiegelt, ...) taugt als Gegenbeispiel für deine Aussage.

18.04.2018, 23:38

xXxxoo

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Ich wollte nur weitere Aufgaben, um zu üben aber vielen Dank für den Tipp smile

smile

. Ist die Gedanken die gleiche mit der umgekehrten Richtung? Also finde eine gängige Funktion und damit rumspielen? Umgekehrte fehlt mir gerade nicht leicht.

18.04.2018, 23:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von xXxxoo
Ist die Gedanken die gleiche mit der umgekehrten Richtung?

Präzisiere mal bitte, was genau du damit meinst.

18.04.2018, 23:53

xXxxoo

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Zitat:

Original von HAL 9000
es helfen Kenntnisse gängiger Funktionen.

Ich meine das

18.04.2018, 23:59

xXxxoo

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Ich habe eine Idee, die ich denke, funktioniert:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{sin(x-1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{(cos(x-1))^2} \end{eqnarray*}$

Und also geht nicht die Behauptung. Was denkst du?

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19.04.2018, 09:39

HAL 9000

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Ich hatte dich eigentlich um Klarstellung gebeten, was genau du mit "umgekehrte Richtung" meinst, aber das hast du offenbar komplett missverstanden. unglücklich

unglücklich

D.h.: Wovon redest du da? Meinst du damit die Aussage

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} f : (0, 1) \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine (auf ihrem Definitionsbereich) differenzierbare Funktion. Zeigen oder widerlegen Sie:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\uparrow 1} f(x) = \infty \Rightarrow \lim_{x\uparrow 1} f'(x) = \infty \end{eqnarray*}$

Die Leute haben manchmal eine seltsame Vorstellung, was sie mit "umgekehrte Richtung" meinen, deswegen sollte das unmissverständlich geklärt werden.

19.04.2018, 09:50

xXxxoo

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Alles klar. Ich meine:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\uparrow1} f'(x) = \infty \Leftarrow \lim_{x\uparrow1} f(x) = \infty \end{eqnarray*}$

Und mit meinem Beispiel mit sinus und cosinus meinte ich mit dieser Aufgabe. Ich habe f konstruiert mit sinus und f geht nach unendlich, wenn x nach 1 geht aber die Ableitung von f mit cosinus geht nicht nach unendlich.

19.04.2018, 10:03

HAL 9000

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Für die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{\sin(x-1)} \end{eqnarray*}$ gilt aber $\begin{eqnarray*} \lim_{x\uparrow 1} f(x) = -\infty \end{eqnarray*}$ , also meinst du vielleicht dann doch eher $\begin{eqnarray*} f(x) = -\frac{1}{\sin(x-1)} \end{eqnarray*}$ . Für letztere Funktion gilt aber $\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{\cos(x-1)}{\sin^2(x-1)} \end{eqnarray*}$ , und damit $\begin{eqnarray*} \lim_{x\uparrow 1} f'(x) = \infty \end{eqnarray*}$ , insofern ist das als Gegenbeispiel nicht geeignet. unglücklich

unglücklich

Man kann (sollte?) hier nach einem Beispiel $\begin{eqnarray*} \lim_{x\uparrow 1} f(x) = \infty \end{eqnarray*}$ suchen, wo der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\uparrow 1} f'(x) \end{eqnarray*}$ überhaupt nicht (also auch nicht uneigentlich) existiert. Also z.B. in immer kürzer werdenden Abständen zwischen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ hin- und herschwankt. Das ist zugegebenermaßen ein wenig kniffliger. Mein Ausgangspunkt war jedenfalls die Funktion $\begin{eqnarray*} g(x)=x+\sin(x) \end{eqnarray*}$ : Die erfüllt $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} g(x)=\infty \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} g'(x) \end{eqnarray*}$ existiert nicht.

Das ist schon fast das, was wir suchen - nur das Definitionsintervall stimmt nicht. Man müsste das also noch geeignet transformieren.

19.04.2018, 13:00

xXxxoo

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Ich habe eine "f'(x)" gefunden aber leider die Integration geht nicht:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 1+cos(\frac{1}{1-x}) \end{eqnarray*}$

19.04.2018, 13:11

HAL 9000

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Taugt leider auch nichts, selbst bei gelungener Integration: Ein Gegenbeispiel mit beschränkter Ableitung (wie bei dir eben $\begin{eqnarray*} |f'(x)|\leq 2 \end{eqnarray*}$ ) erfüllt garantiert nicht die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} \lim_{x\uparrow 1} f(x) = \infty \end{eqnarray*}$ . unglücklich

unglücklich

---------------------------

Anknüpfend an meinen letzten Beitrag meinte ich sowas wie $\begin{eqnarray*} f(x):= g\left(\frac{1}{1-x}\right) = \frac{1}{1-x} + \sin\left( \frac{1}{1-x} \right) \end{eqnarray*}$ :

19.04.2018, 13:15

xXxxoo

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Eigentlich, ich kann eine Teilfolge von 1 + cos(x) betrachten und wenn es nicht existiert, dann haben wir es geschafft, oder?

Also sei $\begin{eqnarray*} x_n = \frac{1}{1-cos(2\pi n)} \end{eqnarray*}$

Und für $\begin{eqnarray*} cos(\frac{1}{1-cos(2\pi n)}) \end{eqnarray*}$ wenn n nach 1 geht, existiert der Limes nicht.

19.04.2018, 13:23

HAL 9000

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Von welcher Funktion sprichst du denn jetzt?

Zitat:

Original von xXxxoo
Also sei $\begin{eqnarray*} x_n = \frac{1}{1-cos(2\pi n)} \end{eqnarray*}$

Für natürliche $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \cos(2\pi n)=1 \end{eqnarray*}$ . Du sprichst hier also über $\begin{eqnarray*} x_n = \frac{1}{1-\cos(2\pi n)} = \frac{1}{1-1} = \frac{1}{0} \end{eqnarray*}$ . Erstaunt1

Erstaunt1

Irgendwie etwas neben der Spur. Ein wenig mehr Konzentration bei der Aufstellung der Terme wäre wohl mal angebracht - wenn ich mir das über den ganzen Verlauf des Threads so anschaue, sieht das so langsam ziemlich übel aus.

19.04.2018, 13:44

xXxxoo

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Ja das war doof Hammer

Hammer

.

Ich habe eine Menge von Sachen ausprobiert aber nichts hat zum Ziel gebracht.

19.04.2018, 13:52

HAL 9000

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Ok, ich erläutere noch kurz, warum das $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ aus meinem letzten Beitrag als Gegenbeispiel taugt:

1) Für alle $\begin{eqnarray*} x\in (0,1) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(x)\geq \frac{1}{1-x} - 1 \end{eqnarray*}$ und damit offenkundig $\begin{eqnarray*} \lim_{x\uparrow 1} f(x)\geq \lim_{x\uparrow 1} \left( \frac{1}{1-x} - 1 \right) = \infty \end{eqnarray*}$ .

2) Zunächst rechnet man aus $\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{1}{(1-x)^2} \left(1 + \cos\left( \frac{1}{1-x}\right) \right) \end{eqnarray*}$ .

Für Folge $\begin{eqnarray*} x_n = 1-\frac{1}{2n\pi} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f'(x_n) = 8n^2\pi^2\to \infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ .

Für Folge $\begin{eqnarray*} y_n = 1-\frac{1}{(2n+1)\pi} \end{eqnarray*}$ gilt hingegen $\begin{eqnarray*} f'(y_n) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

Damit existiert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\uparrow 1} f'(x) \end{eqnarray*}$ nicht.

19.04.2018, 19:59

xXxxoo

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Vielen Dank HAL 9000 und Entschuldigung für die Verwirrung. Mit deinen Folgen habe ich das so gemeint aber leider habe ich es nicht durchgedacht.

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