Limes komplexere Funktion

19.04.2018, 14:35

Team_Anonymous

Limes komplexere Funktion

Meine Frage:
Guten Tag, ich muss den Limes der folgenden Funktion bestimmen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} (cosh(x)+4x)^{cos(x)/x} \end{eqnarray*}$

LaTeX-Tags ergänzt. Steffen

Hat jemand einen Lösungsansatz, Tipps oder einen vollständigen Lösungsweg oder eine Website, die das Lösen von Limes-Aufgaben mit Rechenweg anzeigt?

Es soll Bernoulli-Hôpital verwendet werden.

Vielen Dank! smile

Meine Ideen:
Idee: Exponent mittels ln eliminieren - jedoch komme ich dann nicht weiter und mittels Bernouilli-Hôpital bleibt die Funktion weiterhin undefiniert.

19.04.2018, 15:02

sibelius84

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Hi,

gemäß Definition der allgemeinen Potenz gilt

$\begin{eqnarray*} (\cosh(x)+4x)^{\frac{\cos(x)}{x}} = \exp\left(\frac{\cos(x)}{x}\ln(\cosh(x)+4x)\right) \end{eqnarray*}$ .

Also ist zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)}{x}\ln(\cosh(x)+4x) \end{eqnarray*}$ .

Das geht mit Bernoulli / de l'Hospital, denn Zähler und Nenner laufen gegen 0 und der Nenner ist ansonsten nullstellenfrei, und wird direkt beim nächsten Ableiten konstant 1. Also nur Zähler ableiten und 0 einsetzen; das, was rauskommt, ist dann die vorläufige Lösung a; diese noch in die e-Funktion einsetzen gemäß e^a, das ist dann die endgültige Lösung.

19.04.2018, 15:10

Leopold

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Zitat:

Original von sibelius84
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)}{x}\ln(\cosh(x)+4x) \end{eqnarray*}$

Da $\begin{align*} \cos x \to 1 \end{align*}$ für $\begin{align*} x \to 0 \end{align*}$ , reicht es sogar, auf $\begin{align*} \frac{\ln \left( \cosh x + 4x \right)}{x} \end{align*}$ die Regel von l'Hospital anzuwenden.

19.04.2018, 15:15

Team_Anonymous

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Vielen Dank für Eure Antworten!

Leider komme ich trotzdem nicht aufs gewünschte Resultat von $\begin{eqnarray*} e^4 \end{eqnarray*}$ .
Wenn ich die Gleichung von Leopold ableite, erhalte ich für den Nenner 1 und für den Zähler eine Gleichung, die beim Einsetzen von x=0 -1 ergibt.

19.04.2018, 15:18

sibelius84

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Mit Leopolds Vereinfachung ist doch

$\begin{eqnarray*} [\ln(\cosh(x)+4x)]'=\frac{1}{\cosh(x)+4x}\cdot(\sinh(x)+4) \end{eqnarray*}$ .

Also bei mir kommt da a=4 raus, und damit ist e^a=e^4.

19.04.2018, 15:26

Team_Anonymous

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Gelöst!
Vielen Dank für die Klärung, ich habe etwas falsch eingesetzt. Nun ist alles klar! Freude

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