Totale Differenzierbarkeit

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Ulysses133 Auf diesen Beitrag antworten »
Totale Differenzierbarkeit
Meine Frage:
Seien beliebig.
Wir definieren durch:


Zeigen Sie, dass f auf total differenzierbar ist und bestimmen Sie an jedem das totale Differential Df(x).

Meine Ideen:
Also mir ist klar, dass eine Funktion partiell differenzierbar und stetig sein muss, damit sie total differenzierbar ist.
Ich gehe auch stark davon aus, dass ich das hier nicht überprüfen brauche, sondern "lediglich" die totale Differenzierbarkeit gezeigt werden muss.
Die Definition, die wir im Skript dazu haben lautet wie die im Forster "Analysis 2"

Mein Problem beginnt schon beim Ansatz...ich hab nicht den Hauch einer Ahnung, wie ich das Starten kann.

Für Denkanstöße, sowie der gemeinsamen Lösung der Aufgabe wäre ich mehr als nur dankbar.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Totale Differenzierbarkeit
Zitat:
Original von Ulysses133
Also mir ist klar, dass eine Funktion partiell differenzierbar und stetig sein muss, damit sie total differenzierbar ist.
Ich gehe auch stark davon aus, dass ich das hier nicht überprüfen brauche, sondern "lediglich" die totale Differenzierbarkeit gezeigt werden muss.
Die Definition, die wir im Skript dazu haben lautet wie die im Forster "Analysis 2"

Den Forster kenne ich nicht. Aber es gibt den Satz, wenn eine Funktion stetig partiell differenzierbar ist, dann ist sie total differenzierbar. Dein ist offenbar partiell differenzierbar und die partiellen Ableitungen sind auch offenbar stetig. Da ist also eigentlich nur der Satz zu zitieren.

Für das totale Differential ist dann schlicht dessen Definition anzuwenden.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Totale Differenzierbarkeit
Ich würde auch so vorgehen. Insofern trifft diese Vermtung:
Zitat:
Original von Ulysses133
Ich gehe auch stark davon aus, dass ich das hier nicht überprüfen brauche, sondern "lediglich" die totale Differenzierbarkeit gezeigt werden muss.

nicht ganz den Kern. Man kann natürlich über die Angabe einer Fundamentalmatrix und die Definition der totalen Differenzierbarkeit den direkten Weg beschreiten, aber im Zweifelsfall ist das etwas mühsamer. smile
Ulysses133 Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Definition der totalen Differenzierbarkeit lautet:

Mit A als linearer Abbildung, so dass gilt:


Wobei



Da steh ich nun auf dem Schlauch.
Muss ich nun als erstes ein Xi finden, so dass die Bedingung mit dem Limes gilt oder mache ich mich erstmal an das A?
Ulysses133 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, sorry.
Das braucht ja nicht zwingend gezeigt werden.

Also das totale Differential ist definiert als:



Wobei dann die i-te Zeile den Gradient der Funktion ist.


Wie kann ich denn nun diese "kompliezierte" Funktion einmal partiell nach f und nach x ableiten?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ulysses133
Das braucht ja nicht zwingend gezeigt werden.

Was braucht nicht zwingend gezeigt zu werden?

Zitat:
Wie kann ich denn nun diese "kompliezierte" Funktion einmal partiell nach f und nach x ableiten?

Es wird nirgends nach abgeleitet. Außerdem ist bei dir eine Abbildung in den , d.h. . Die Fundamentalmatrix ist daher schlicht der Gradient von . Und das totale Differential von ist:



Das sind sehr einfache Ableitungen.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann sich zudem etwas Schreibarbeit sparen, wenn man in diesem Kontext hier "Indizes modulo " vereinbart, damit ist gemeint und analog auch für die -Komponenten. Dann kann man nämlich hübsch symmetrisch



schreiben und muss die Randindizes nicht extra diskutieren.


P.S.: Eine solche Indexvereinbarung ist übrigens gang und gebe bei solchen "zirkulär symmetrischen" Termstrukturen.
Ulysses133 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Was braucht nicht zwingend gezeigt zu werden?




Du schriebst ja in der ersten Antwort, dass man nur den Satz zitieren braucht
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