Euklidischer Ring |
| 19.04.2018, 22:03 | Melanie233 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Euklidischer Ring ich würde gerne euklidische Ringe besser verstehen, vor allem was es mit der Gradfunktion auf sich hat. Nehmen wir als Beispiel einen Körper: Dort wird die Funktion ja wie folgt definiert: g(0)=0 und g(a)=1 für Was heißt das jetzt. Kann mir das vllt jmd bitte erklären? 
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| 20.04.2018, 11:13 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi, das mit dem Körper ist ein Trivialbeispiel und insofern nicht besonders ergiebig für's Verständnis. Generell geht es bei der Gradfunktion darum, dass bei der Division mit Rest eben genau dieser Rest hinten in gewissem Sinne "kleiner" ist als das, womit man angefangen hat; dies ist auch notwendig, damit der euklidische Algorithmus funktioniert. (Denn wenn der Rest da hinten nicht in jedem Divisionsschritt "kleiner" wird, kann man nicht sicher sein, dass der Algorithmus terminiert.) Um eine Aussage bzw. Eigenschaft zu verstehen, finde ich es immer nützlich, Negativbeispiele zu betrachten. Schauen wir uns doch mal den bivariaten Polynomring für einen Körper K an und hier die Polynome sowie . In allen Büchern steht, dieser Ring ist zwar faktoriell (nach Hilbert, glaube ich), aber kein Hauptidealring und daher insbesondere kein euklidischer Ring. Warum? Können wir nicht vielleicht doch irgendwie eine Gradfunktion f auftreiben, die es uns ermöglicht, (bzw. vielleicht auch ) zu schreiben, wobei der Rest da hinten dann wirklich einen kleineren Grad hat als das, wodurch man teilt? Versuche wären etwa: f:= höchster Exponent von x, f':= höchster Exponent von y, f'':=höchster Totalgrad = Summe von Exponenten. (Damit wäre f(p_1)=2, f'(p_1)=3, f''(p_1)=5; und f(p_2)=f'(p_2)=f''(p_2)=4.) Ich habe gerade mal ein paar Minuten herumprobiert und habe keine Möglichkeit gefunden, q so zu definieren, dass irgendeiner der ("Pseudo-")Grade f, f', f'' runtergeht. Daran erkennt man zumindest, dass f, f', f'' keine Gradfunktionen sind, die K[X,Y] zu einem euklidischen Ring machen würden. |
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| 20.04.2018, 20:59 | Melanie233 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke sibelius
Jetzt ist es schon viel klarer. Wenn ich ein weiteres Beispiel, nämlich die ganzen Zahlen betrachte, mit dem Betrag als der Gradfunktion. Hilft dann diese Gradfunktion dabei, dass die Division mit Rest eindeutig bleibt? |
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| 20.04.2018, 21:43 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, auf jeden Fall! Wenn man a=qb+r hat mit 0<=r<|b|, und man hat auch noch a=q'b+r', dann folgt 0 = a-a = (q-q')b+(r-r'); nun ist aber m1t r und r' auch |r-r'| < b und da dieser Betrag aber nach der Gleichung auch durch b teilbar ist, folgt, dass er 0 ist, also r=r' und q=q'. Ähnlich sollte man in einem allgemeinen euklidischen Ring argumentieren können, mit Grad(a) anstelle von |a|; denn so eine Gradfunktion sollte Grad(x-y)<= Grad x + Grad y erfüllen. |
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| 21.04.2018, 10:31 | Melanie233 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Was hat der Betrag |r-r'| für eine Aufgabe, in diesem Fall. Was würde denn ohne den Betrag als Gradfunktion passieren? |
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| 21.04.2018, 21:40 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Habe gerade mal auf wikipedia nachgeschaut und da steht, dass so eine Gradfunktion die Eigenschaft g(xy) >= g(x) mitbringen soll, für y ungleich Null. Von g(x+x') <= g(x) + g(x') steht da leider nichts. Nun, ganz eindeutig ist die Division vielleicht nicht, selbst in den ganzen Zahlen. Man könnte ja auch wie folgt definieren: Sei a=qb+r die herkömmliche Division mit Rest, also 0 <= r < |b|. Dann definieren wir eine neue Division mit Rest durch a=q'b+r', wobei q'=q, r'=r, falls r <= |b|/2; und q'=q+1, r'=r-|b|, falls r > |b|/2. Diese Division mit Rest liefert wieder eindeutige Ergebnisse, was man analog wie oben beweisen kann. Aber in dem Sinne, dass noch eine andere Definitionsmöglichkeit existiert, ist die Division mit Rest nicht ganz eindeutig. Ich glaube aber eigentlich, dass du das Wesentliche schon verstanden hast und wir uns nur noch um Details drehen. 
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| 22.04.2018, 11:30 | Melanie233 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vllt nochmal zum Beispiel der ganzen Zahl mit der Betragsfunktion als Gradfunktion. Was hat diese Betragsfunktion genau für eine Aufgabe, wenn sie nicht mal die Eindeutigkeit der Division mit Rest liefert? |
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| 22.04.2018, 12:14 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hier müssen wir genau auseinanderhalten, worüber wir reden: -> Ist R euklidischer Ring, so gibt es mehrere Gradfunktionen auf R (wenn ich mich nicht irre, kann man ja eine gegebene Gradfunktion einfach mit einem festen multiplizieren und erhält eine weitere Gradfunktion). -> Es gibt iA auch mehrere Möglichkeiten, die Division mit Rest zu definieren (vgl. oben). Insbesondere, falls es wesentlich unterschiedliche Gradfunktionen gibt, gibt es dazu vermutlich auch unterschiedliche Divisionen mit Rest. Selbst zur selben Gradfunktion hat man da mehrere Definitionsmöglichkeiten, s.o. -> Die herkömmliche Polynomdivision mit Rest bzw. auch Division ganzer Zahlen mit Rest ist eindeutig (= liefert eindeutige Ergebnisse). Hier mal ein evtl. nützlicher Link zu einem alten thread der 'Konkurrenz' http://www.matheplanet.com/default3.html...php?topic=89903 oder hier (hoffentlich klappt das?): https://www.google.de/url?sa=t&rct=j&q=&...5DBghySCMTK_slA S. 19 / Bsp. 30 Da steht genau mein Beispiel von oben, dass die Division mit Rest in Z auf unterschiedliche Weise definiert werden kann; und dahinter steht, das ist nicht weiter schlimm, weil es nicht benötigt wird. |
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| 24.04.2018, 16:01 | Melanie233 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke sibelius. Zu deinem Beispiel 30. Dort ist ja die Division dann nicht eindeutig. Aber warum braucht man die Gradfunktion dann überhaupt? |
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