Notation schwache Ableitung

20.04.2018, 00:13	alina94	Auf diesen Beitrag antworten »
Notation schwache Ableitung Hey, ich hab hier eine kurze Frage zu einer Notation die mir in der Form neu ist. Gegeben ist $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ im Sobolev-Raum $\begin{eqnarray} H^1 \end{eqnarray}$ und hier steht jetzt $\begin{eqnarray} \text{div}u = 0 \text{ in } L^2 \end{eqnarray}$ Mich verwirrt dieses $\begin{eqnarray} L^2 \end{eqnarray}$ etwas, ist damit einfach die schwache Ableitung gemeint, oder steckt da noch mehr dahinter? Weil ja eigentlich im Kontext schon klar ist, dass die Ableitung schwach ist. Wäre super, wenn mir das kurz jemand sagen könnte
20.04.2018, 08:13	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit $\begin{eqnarray} L^2 \end{eqnarray}$ ist der Raum der quadratintegrierbaren Funktionen gemeint. Dass da nur ein $\begin{eqnarray} L^2 \end{eqnarray}$ anstatt zum Beispiel ein ordentliches $\begin{eqnarray} L^2(\Omega) \end{eqnarray}$ , mit einer offenen Menge $\begin{eqnarray} \Omega\subset\mathbb R^n \end{eqnarray}$ , steht, ist der allgemeinen Faulheit geschuldet.
20.04.2018, 12:39	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich vermute man unterscheid zwischen $\begin{eqnarray} \text{div}u = 0 \text{ in } L^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \text{div}u = 0 \text{ in } \mathcal D' \end{eqnarray}$ , wobei letzteres distributionell zu deuten ist. Erstes ist äquivalent zu $\begin{eqnarray} \int \mathrm{div} u(x) \varphi (x) \mathrm d x = 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \varphi \in L^2 \end{eqnarray}$ , oder aufgrund von Dichte, ebenfalls äquivalent zu $\begin{eqnarray} \int \mathrm{div} u(x) \varphi (x) \mathrm d x = 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \varphi \in C^\infty_c \end{eqnarray}$ . Distributionell meint aber $\begin{eqnarray} \int u(x) \cdot \nabla \varphi (x) \mathrm d x = 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \varphi \in C^\infty_c \end{eqnarray}$ . Die erste Bedingung ist echt stärker! Daraus folgen (bei schwachen Annahmen an das Gebiet) die Neumann-Randbedingung $\begin{eqnarray} u \cdot \nu = 0 \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \nu \end{eqnarray}$ die Normale des Gebiets ist. Aus der distributionellen Gleichheit folgt das nicht!
20.04.2018, 23:53	alina94	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke euch! Der Unterschied zur distributionellen Ableitung war genau was ich gesucht habe, die Notation mit $\begin{eqnarray} D' \end{eqnarray}$ taucht später ebenfalls auf, dass es in dem Sinne eine stärkere Formulierung gibt wusste ich nicht.
21.04.2018, 07:02	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube ich muss meine Aussage eben etwas revidieren. Falls $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ glatt genug ist, sind alle Aussagen äquivalent. Wenn man aber nicht weiß, dass $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ genügend regulär ist, dann ist $\begin{eqnarray} \mathrm{div } u = 0 \end{eqnarray}$ distributioniell immer noch sinnvoll, das andere nicht.
23.04.2018, 08:46	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast Recht, die distributionelle Ableitung ist (beinahe) immer sinnvoll definiert, aber leider ein Ableitungsbegriff mit nur sehr wenig guten Eigenschaften. Daher wird in Anwendungen immer gerne mehr gefordert, beispielsweise dass die gewünschte Ableitung nur nur eine Distribution ist, sondern tatsächlich so etwas wie eine "normale" Funktion. Das führt beispielsweise zu Deiner Forderung $\begin{eqnarray} \mathrm{div}(u)=0 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} L^2 \end{eqnarray}$ , was streng genommen zwei Forderungen sind: 1) Die distributionelle Ableitung $\begin{eqnarray} \mathrm{div}(u) \end{eqnarray}$ ist ein Element in $\begin{eqnarray} L^2 \end{eqnarray}$ , oder präziser: kann durch ein Element aus $\begin{eqnarray} L^2 \end{eqnarray}$ dargestellt werden. 2) Das betreffende Element in $\begin{eqnarray} L^2 \end{eqnarray}$ soll dem Nullelement entsprechen. Summa summarum: Distributionell ableiten kann man fast immer, der Preis liegt darin dass man eventuell keine weiteren Eigenschaften der Ableitung mehr hat. Die schwache Ableitung hingegen ist seltener definiert, allerdings besitzt sie mehr Eigenschaften, nämlich einen Repräsentanten in $\begin{eqnarray} L^2 \end{eqnarray}$ oder gar einem Sobolevraum [also Glattheit].
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