Geometrische Summenformel Verständnisproblem

20.04.2018, 12:15

omegaTM

Geometrische Summenformel Verständnisproblem

Hallo allerseits,

zuerst ich weis, dass dieses Forum nicht dazu dient Hausaufgaben zu lösen. Allerdings hänge ich gerade fest. Die "Normalform" der Lösungsformel für die Geometrische Summenformel bereitet mir keine Probleme, allerdings verwirrt es mich, wenn im Exponenten von q mehr als das k steht.

So lautet ja die vereinfachte Lösungformel:

$\begin{eqnarray*} \left(\sum\limits_{k=0}^{n} q^{n}\right)=\frac{1-q^{n+1} }{1-q} \end{eqnarray*}$

Bei mir scheitert es. Per Hand kann ich alles ausrechnen, aber dass ist ja nicht der Sinn der Sache.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{5} 5^{3\cdot k- 2} = 5^{3\cdot 2- 2}+ 5^{3\cdot 3- 2}+ 5^{3\cdot 4- 2}+ 5^{3\cdot 5- 2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{5}5^{3\cdot k- 2}= 5^{4} + 5^{7} + 5^{10} + 5^{13} = 1230547500 \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun Versuche alles in die obige Lösungsformel einzusetzen, komme ich nicht auf das gleiche Ergebnis. Oder gilt diese Formel nur für k=0?

Grüße

omega

20.04.2018, 12:29

klauss

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RE: Geometrische Summenformel Verständnisproblem
Wenn es auf die geometrische Summenformel hinausläuft, wird man immer versuchen, den Summanden mittels Potenzgesetzen auf Grundform zu bringen. Hier:
$\begin{align*} 5^{3k-2}=5^{-2}\cdot \left(5^{3}\right)^{k} \end{align*}$

20.04.2018, 12:35

klauss

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RE: Geometrische Summenformel Verständnisproblem
Zusatz:
Wenn der Laufindex in der Aufgabe nicht zur Formal paßt, muß natürlich auch noch variiert werden.
$\begin{align*} \sum\limits_{k=2}^{n} q^{k}=\sum\limits_{k=0}^{n} q^{k}-\sum\limits_{k=0}^{1} q^{k} \end{align*}$

20.04.2018, 15:07

omegaTM

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RE: Geometrische Summenformel Verständnisproblem
Vielen Dank klauss, da sieht man einmal, wie wichtig die einfachsten Gesetze doch sind.
Ich komme zwar immer noch nicht wirklich weiter, aber ich habe ein Paar Ansätze.

$\begin{eqnarray*} \left(5^{3\cdot k- 2} \right) = 5^{- 2}\cdot 5^{3\cdot k}= 5^{-2} \cdot \left(5^{3} \right)^{k} = \frac{1}{5^{2} }\cdot \left(5^{3} \right)^{k} = \frac{1}{25}\cdot 125^{k} \end{eqnarray*}$

Wenn ich diesen Ausdruck nun einsetze, erhalte ich ja Folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{25}\cdot \sum\limits_{k=2}^{5} 125^{k} \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun die Summe in die Formel einsetze(nicht gültig da k>0) und mit (1/25) multipliziere, erhalte ich Folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{25} \cdot \frac{1- 125^{5+1} }{1- 125} \equiv 1230547505 \end{eqnarray*}$

5 müssen also noch abgezogen werden, damit das richtige Ergebnis rauskommen würde.

Ich habe auch überlegt eine weitere Summe aufzustellen, um diese von einander abzuziehen.
Problem hierbei sobald ich damit beginne alles einzeln zu notieren, also 5^(3*0-2)+...+
Das hoch 0 vermasselt die Rechnung.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{5} 5^{3\cdot k- 2} - \sum\limits_{k=2}^{5} 5^{3\cdot k- 2}\neq 5 \end{eqnarray*}$

20.04.2018, 15:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von omegaTM
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{25} \cdot \frac{1- 125^{5+1} }{1- 125} \equiv 1230547505 \end{eqnarray*}$

5 müssen also noch abgezogen werden, damit das richtige Ergebnis rauskommen würde.

Ziemlich schludrige Vorgehensweise: Tatsächlich kommt da raus

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{25} \cdot \frac{1- 125^{5+1} }{1- 125} = 1230547505{\color{red}.04} \end{eqnarray*}$ ,

und abgezogen werden müssen die beiden Werte $\begin{eqnarray*} 5^{-2}=0.04 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} 5^1=5 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ . Kommt letztlich vom Wert auf dasselbe hinaus, weil sich aus rätselhaften Gründen deine beiden Fehler (unsauber gerechnet und vergessen, Wert für k=0 zu subtrahieren) gegenseitig aufheben.

EDIT: Möglicherweise sind dir die .04 auch entgangen, weil die Anzeige deines TR nur 10 Stellen bietet und du darüber nicht nachgedacht hast.

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In dem Zusammenhang sei noch erwähnt, dass man nicht bei $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ beginnende geometrische Summen/Reihen statt durch Differenzbildung

Zitat:

Original von klauss
$\begin{align*} \sum\limits_{k=2}^{n} q^{k}=\sum\limits_{k=0}^{n} q^{k}-\sum\limits_{k=0}^{1} q^{k} \end{align*}$

auch durch Indexverschiebung + Ausklammern bewältigen kann. Beispielsweise liefert hier eine Indexverschiebung um 2 die Rechnung

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n q^k = \sum_{k=0}^{n-2} q^{k+2} = \sum_{k=0}^{n-2} q^k\cdot q^2 = q^2\cdot \sum_{k=0}^{n-2} q^k \end{eqnarray*}$ .

Oder im vorliegenden Fall:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^5 5^{3k-2} = \sum_{k=0}^3 5^{3(k+2)-2} = 5^4\cdot \sum_{k=0}^3 125^k = 625\cdot \frac{125^4-1}{125-1} \end{eqnarray*}$

20.04.2018, 15:46

klauss

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Jedenfalls kommt mit
$\begin{align*} \frac{1}{25} \sum\limits_{k=2}^{5} 125^{k}=\frac{1}{25}\left(\sum\limits_{k=0}^{5} 125^{k}-\sum\limits_{k=0}^{1} 125^{k}\right) \end{align*}$
unter zweimaliger Anwendung der Formel das Ergebnis raus, das oben schon per Hand gefunden wurde.

P.S:

Zitat:

Original von HAL 9000
EDIT: Möglicherweise sind dir die .04 auch entgangen, weil die Anzeige deines TR nur 10 Stellen bietet und du darüber nicht nachgedacht hast.

Deswegen habe ich auch auf einen Windows-Rechner zurückgegriffen, was sich aufdrängt, wenn der Taschenrechner in Zehnerpotenzschreibweise mit Dezimalpunkt wechselt.

20.04.2018, 15:59

omegaTM

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@HAL 9000

Entschuldige für den dümmlichen Fehler.
Zum Thema Indexverschiebung, wir hatten dies noch nicht. Bisher wurde uns nur die allgemeine Herleitung gezeigt.

Deinen Beitrag schaue ich mir gleich genauer an, aber ich habe jetzt einen Lösungsweg, wahrscheinlich viel zu umständlich. Falls die Notation schlecht sein sollte, bitte ich um Nachsicht.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{5} 5^{3\cdot k- 2}= \sum\limits_{k=0}^{5} 5^{3\cdot k- 2}-\sum\limits_{k=0}^{1} 5^{3\cdot k- 2}=\left(\frac{1}{25}\cdot \frac{1- 125^{5+1} }{1- 125}\right)- \left(\frac{1}{25}\cdot \frac{1-125^{1+1} }{1-125}\right) \end{eqnarray*}$

Wie bereits gesagt, die Indexverschiebung hatten wir noch nicht. Ich nehme mal an, dass aber mein Weg viel zu umständlich ist?

//: Beziehungsweise ist das ja auch der Weg, den klauss vorgeschlagen hat. Ich muss aber gestehen, dass ich vorhin nichts verstanden habe und erst Stück für Stück darauf gekommen bin, durch knobeln.

//2: @klauss: Deinen Beitrag hatte ich nicht mehr wahrgenommen, da war ich schon am eintippen Big Laugh

20.04.2018, 16:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von omegaTM
Zum Thema Indexverschiebung, wir hatten dies noch nicht.

Das ist nichts, was man "haben" muss, sondern das "macht" man einfach. Augenzwinkern

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