Fehlendes Buchblatt

20.04.2018, 13:05

Dopap

Fehlendes Buchblatt

die Seiten eines Buches sind mit 1,2,3,4,5,...,N nummeriert.

die Blätter eines Buches sind mit 1,3,5,7,... gekennzeichnet.

Wenn nun ein Blatt entfernt wird, dann ist die Summe der nummerierten Buchseiten 15000.

Frage: welches Blatt wurde entfernt und wieviel Seiten hatte das Buch?

Wie kann man sich da mit Papier, Bleistift und Billigst-Taschenrechner halbwegs effektiv "ranarbeiten"

20.04.2018, 13:17

klauss

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RE: fehlendes Buchblatt
Sollte man da nicht relativ zügig über die arithmetische Reihe zur Lösung kommen?
Ein Ergebnis hätte ich schon, aber das will ich noch nicht offenbaren, falls ich völlig auf dem Holzweg bin.

20.04.2018, 13:42

Dopap

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keine falsche Bescheidenheit.

Her damit! Augenzwinkern

20.04.2018, 13:44

HAL 9000

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Offenbar gilt für die Seitensumme $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ abzüglich des fehlenden Blattes mit den Seitennummern $\begin{eqnarray*} (2k-1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2k \end{eqnarray*}$ die Formel

$\begin{eqnarray*} S = \frac{N(N+1)}{2}-(4k-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S \leq \frac{N(N+1)}{2}-3 \end{eqnarray*}$ bedeutet umgestellt $\begin{eqnarray*} (2N+1)^2 \geq 8S+25 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} N\geq \frac{1}{2}\left( \sqrt{8S+25}-1 \right)=:N^* \end{eqnarray*}$ .

Andererseits heißt $\begin{eqnarray*} S\geq \frac{N(N+1)}{2}-(2N-1) \end{eqnarray*}$ umgestellt $\begin{eqnarray*} (2N-3)^2 \leq 8S+1 \end{eqnarray*}$ und in der Folge $\begin{eqnarray*} N\leq \frac{1}{2}\left( \sqrt{8S+1}+3 \right) < N^*+2 \end{eqnarray*}$ .

Außerdem muss für jeden denkbaren $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ -Wert auch $\begin{eqnarray*} k = \frac{1}{8}\left( N(N+1)+2-2S\right) \end{eqnarray*}$ eine ganze Zahl ergeben.

Für $\begin{eqnarray*} S=15000 \end{eqnarray*}$ ergibt das $\begin{eqnarray*} N^*\approx 172.72 \end{eqnarray*}$ , es kommen daher allenfalls $\begin{eqnarray*} N=173 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} N=174 \end{eqnarray*}$ in Frage.

a) $\begin{eqnarray*} N=173 \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} k=13 \end{eqnarray*}$ , also das fehlende Buchblatt mit den Seitennummern 25,26.

b) $\begin{eqnarray*} N=174 \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} k=56.5 \end{eqnarray*}$ , das ist also keine Lösung.

20.04.2018, 14:15

klauss

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Ich hatte mir folgendes überlegt:
Zunächst muß es so viele Seiten geben, dass die Summe der Nummern größer als 15000 ist. Das ist für N = 173 erstmals der Fall (S = 15051). Den übersteigenden Wert muß ich durch Entfernen eines Blattes abziehen, also x + (x + 1) = 51.
Hierbei ist zu beachten, dass die kleinere Seitennummer eines Blattes jeweils ungerade sein muß, was aber für x = 25 erfüllt ist.
Ob es weitere Lösungen gibt, wäre dann noch gesondert zu untersuchen gewesen.
Aber HALs Lösungs ist natürlich mathematisch viel schöner.

20.04.2018, 14:36

HAL 9000

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Es ist übrigens gar nicht so leicht "griffig" zu formulieren, für welche $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ es keine, eine oder zwei Lösungen des Problems gibt.

Z.B. geht für S=15301 sowohl N=175 mit Buchblatt 49/50 als auch N=176 mit Buchblatt 137/138.

20.04.2018, 15:47

Dopap

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schön, genau eine Lösung.
Aber wie das Beispiel von HAL zeigt, muss das nicht immer so sein.

Jetzt bleibt mir nur noch die Frage, ob es von Belang ist und sich in den Formeln niederschlägt, ob das letzte Blatt hinten unbedruckt ist und somit keine Seitenzahl hat. verwirrt

20.04.2018, 16:52

HAL 9000

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Hmm, das stimmt: Den Sonderfall "N ungerade + letztes Blatt wird entfernt" spiegelt die Rechnung nicht wieder. Allerdings betrifft das ja "nur" die Dreieckszahlen $\begin{eqnarray*} S=\sum_{k=1}^{N-1} k = \frac{N(N-1)}{2} \end{eqnarray*}$ mit eben jenem ungeraden $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ , für die wäre dann eben eine Sonderbetrachtung nötig.

20.04.2018, 18:00

Dopap

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Zitat:

Original von HAL 9000
Hmm, das stimmt: Den Sonderfall "N ungerade + letztes Blatt wird entfernt" [...]

mmh.. meintest du damit:

N ist ungerade + letzte Seite hat keine Seitenzahl. oder was?

20.04.2018, 18:14

HAL 9000

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Wenn $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ungerade ist, dann hat das letzte Blatt (!) automatisch nur auf der Vorderseite eine Nummer. Damit hat man für die Dreieckszahl $\begin{eqnarray*} S=\frac{n(n-1)}{2} \end{eqnarray*}$ mit ungeradem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ folgende zwei Lösungen:

1) N=n und das letzte Blatt (mit nur der einen Seitennummer N=n) wird entfernt

2) N=n+1 und das letzte Blatt mit den zwei Seitennummern N-1=n sowie N=n+1 wird entfernt.

Und der Vollständigkeit halber:

Weitere Lösungen kann es für dieses $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ nicht geben, denn Seitenzahlen $\begin{eqnarray*} N<n \end{eqnarray*}$ führen zu $\begin{eqnarray*} S<\frac{n(n-1)}{2} \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} N>n+1 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} S>\frac{n(n-1)}{2} \end{eqnarray*}$ .

20.04.2018, 19:08

Dopap

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Zitat:

Original von HAL 9000
Wenn $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ungerade ist, dann hat das letzte Blatt (!) automatisch nur auf der Vorderseite eine Nummer. [...]

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