Laurent-Entwicklung

21.04.2018, 09:23

Der_Apfel

Laurent-Entwicklung

Ich soll die Funktion:

$\begin{eqnarray*} \frac{8z+6+8i}{2z^2 - 3z - 4iz} \end{eqnarray*}$ in eine Laurent-Reihe im Kreisringgebiet $\begin{eqnarray*} 0 < |z| < 2.5 \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ entwickeln.

Aus dem Partialbruch-Ansatz folgt bei mir:

$\begin{eqnarray*} -\frac{2}{z} + \frac{6}{z-1.5-2i} \end{eqnarray*}$

Teil der Vorlesung war, dass $\begin{eqnarray*} F(z) = \frac{1}{z-c} = \sum_{n=1}^\infty \frac{c^{n-1}}{z^n} \end{eqnarray*}$ mit Entwicklungsmitte $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ ist.

Die Summenteile kann ich ja in diese Form bringen, geht das so einfach?

$\begin{eqnarray*} -\frac{2}{z} = -2\cdot \frac{1}{z-0} = -2\cdot \sum_{n=1}^\infty \frac{0}{z^n} = 0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} 6\cdot \frac{1}{z-(1.5 + 2i)} = 6\cdot \sum_{n=1}^\infty \frac{(1.5 + 2i)^{n-1}}{z^n} \end{eqnarray*}$

Stimmt das überhaupt?

Wofür genau benötige ich die Angabe des Kreisringgebietes?

21.04.2018, 11:16

Huggy

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RE: Laurent-Entwicklung

Zitat:

Original von Der_Apfel
Teil der Vorlesung war, dass $\begin{eqnarray*} F(z) = \frac{1}{z-c} = \sum_{n=1}^\infty \frac{c^{n-1}}{z^n} \end{eqnarray*}$ mit Entwicklungsmitte $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ ist.

Das ist nicht richtig. Zunächst mal ist zwischen $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c \neq 0 \end{eqnarray*}$ zu unterscheiden. Bei $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ steht da einfach

$\begin{eqnarray*} F(z)= \frac 1 z \end{eqnarray*}$

und das bleibt für die Laurentreihe um den Nullpunkt einfach so stehen. Deshalb bleibt der erste Summand deiner Partialbruchentwicklung für die Laurentreihe unverändert.

Sei nun $\begin{eqnarray*} c \neq \end{eqnarray*}$ 0. Dann sind für $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ zwei Bereiche zu unterscheiden:

a) $\begin{eqnarray*} |z| <|c| \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} F(z)= \frac 1 {z-c} = - \frac 1 c \frac 1 {1-\frac z c}=-\frac 1 c \sum_{n=0}^{\infty} (\frac z c)^n \end{eqnarray*}$

Das brauchst du für die Laurentreihe des zweiten Summanden deiner Partialbruchentwiclung. Das letzte Gleichheitszeichen ergibt sich einfach aus der geometrischen Reihe. Der Konvergenzradius der Reihe ist $\begin{eqnarray*} |c| \end{eqnarray*}$ . Jetzt rechne mal $\begin{eqnarray*} |c| \end{eqnarray*}$ aus und vergleiche das mit dem angegebenen Kreisgebiet.

b) $\begin{eqnarray*} |z|>c \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} F(z)=\frac 1 {z-c}= \frac 1 z \frac 1 {1-\frac c z}=\frac 1 z \sum_{n=0}^{\infty} (\frac c z )^n \end{eqnarray*}$

Das wird aber in der Aufgabe nicht benötigt.

21.04.2018, 15:02

Der_Apfel

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Vielen Dank für deine Antwort.

Zitat:

Dann sind für z zwei Bereiche zu unterscheiden:

Da ich gezielt um $\begin{eqnarray*} z = 0 \end{eqnarray*}$ entwickeln muss, ist $\begin{eqnarray*} |z| = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |1.5+2i| = 2.5 \end{eqnarray*}$ , daraus folgt dann $\begin{eqnarray*} 0 < 2.5 \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Der Konvergenzradius der Reihe ist |c|

Folgt das daraus, dass man die Reihe allgemein schreibt als $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n \end{eqnarray*}$ . In diesem Fall wäre $\begin{eqnarray*} a_n = (\frac{1}{1.5+2i})^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_0 = 0 \end{eqnarray*}$ .

Aus dem Quotientenkriterium $\begin{eqnarray*} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| \end{eqnarray*}$ folgt dann der Konvergenzradius von $\begin{eqnarray*} 2.5 \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} z_0 = 0 \end{eqnarray*}$ ist das im Kreisringgebiet $\begin{eqnarray*} |z| \in ]0,2.5[ \end{eqnarray*}$ , sehe ich das richtig?

Insgesamt kann man also schreiben:

$\begin{eqnarray*} F(z) = -2\cdot \frac{1}{z} -\frac{1}{1.5+2i}\sum_{n=0}^\infty (\frac{z}{1.5+2i})^n \end{eqnarray*}$

21.04.2018, 16:47

Huggy

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Zitat:

Original von Der_Apfel
Da ich gezielt um $\begin{eqnarray*} z = 0 \end{eqnarray*}$ entwickeln muss, ist $\begin{eqnarray*} |z| = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |1.5+2i| = 2.5 \end{eqnarray*}$ , daraus folgt dann $\begin{eqnarray*} 0 < 2.5 \end{eqnarray*}$ ?

Das ist, vorsichtig gesagt, ziemlich verquer ausgedrückt. Die Laurentreihe um den Punkt $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ der gegebenen Funktion stellt die Funktion im Bereich $\begin{eqnarray*} 0<z<c=2.5 \end{eqnarray*}$ dar, wäre eine korrekte Aussage.

Zitat:

Der Konvergenzradius der Reihe ist |c|
Folgt das daraus, dass man die Reihe allgemein schreibt als $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n(z- z_0)^n \end{eqnarray*}$ .

Ja. So kann man jede in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ holomorphe Funktion schreiben.

Zitat:

In diesem Fall wäre $\begin{eqnarray*} a_n = (\frac{1}{1.5+2i})^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_0 = 0 \end{eqnarray*}$ .

Fast. Dazu müsstest du die von dir genannten $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ noch mit $\begin{eqnarray*} -1/c \end{eqnarray*}$ multiplizieren. Aber selbstverständlich darf man diesen gemeinsamen Faktor auch vor die Summe schreiben.

Zitat:

Aus dem Quotientenkriterium $\begin{eqnarray*} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| \end{eqnarray*}$ folgt dann der Konvergenzradius von $\begin{eqnarray*} 2.5 \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} z_0 = 0 \end{eqnarray*}$ ist das im Kreisringgebiet $\begin{eqnarray*} |z| \in ]0,2.5[ \end{eqnarray*}$ , sehe ich das richtig?

Ja. Wenn man sich mit Laurentreihen befasst, darf man allerdings den Konvergenzradius der geometrischen Reihe auch als bekannt voraussetzen.

Zitat:

Insgesamt kann man also schreiben:

$\begin{eqnarray*} F(z) = -2\cdot \frac{1}{z} -\frac{1}{1.5+2i}\sum_{n=0}^\infty (\frac {z} {1.5+2i})^n \end{eqnarray*}$

Ja.

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