Borel Messbarkeit im IR

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FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »
Borel Messbarkeit im IR
Hallo, ich habe Probleme bei folgender Aufgabe:

Borel Messbarkeit im

(a) Sei , wobei eine gegebene stetige Funktion ist. Zeigen Sie: ist messbar.

(b) Sei die Menge der algebraischen Zahlen. Dabei heißt eine Zahl algebraisch, falls sie Nullstelle eines nicht-konstanten Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist. Zeigen Sie, dass messbar ist.

(c) sei unterhalbstetig (also für alle ). Zeigen Sie, ist messabr.

Damit die Aufgabenstellung übersichtlich bleibt, werde ich meine Ideen ins erste Kommentar schreiben. Von daher bitte kurz noch warten. Ich hoffe auf Hilfe und bedanke mich im Vorraus. smile
FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

zu a)

Man betrachte zunächst die gegebene stetige Funktion mit den topologischen Räumen (Topologie auf ) und . Für eine gegeben Topologie verwenden wir immer die Borel-Sigma-Algebra , wie in VL vereinbart wurde. Nach Definition der Stetigkeit gilt . Da ein Erzeugendenssystem von ist, gilt nach Proposition 2.3 der Vorlesung:

ist messbar

Also haben wir die Messbarkeit der Funktion gezeigt. Zeigen jetzt:

Sei und es ist somit:

, da Sigma-Algebra ist. Also ist im messbaren Raum enthalten und deshalb messbar.

Das wäre so meine Idee zur a). Zur b) und c) hab ich jetzt noch nichts, weil ich nicht mehrere Aufgaben durcheinander anfangen wollte.
 
 
FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, bitte den Mist den ich gerade geschrieben habe gar nicht erst anschauen Hammer



Da stetig, folgt messbar und somit sind Urbilder von Borelmengen wieder Borelmengen. Betrachte





Nach Definition sind Borelmengen und somit deren Urbilder wieder Borelmengen

Da es sich um die Borelsche Sigma-Algebra handelt, ist auch deren Schnitt eine Borelmenge, als gilt . Also ist messbar.
FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

zu b)

sei die Menge der algebraischen Zahlen. Wir betrachten die Funktion:



Diese ist offenbar stetig und somit messbar. Es gilt und es ist als eine Punktmenge auch eine Borelmennge, wonach analog zu a) auch dessen Urbild eine Borelmenge sein muss, also ist die Menge der algebraischen Zahlen messbar.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

(a) ist irgendwie lustig: Da bekanntlich für alle reellen gilt,



reden wir hier über die leere Menge: D.h., ganz egal wie aussieht, es ist . smile


Zitat:
Original von FelNa1109
zu b)

sei die Menge der algebraischen Zahlen. Wir betrachten die Funktion:


Diese Konstruktion musst du mal näher erläutern: Korrekter wäre erstmal die Darstellung

,

d.h., für verschiedene hat man i.a. auch verschiedene , die diesen so zugeordnet sind, dass gilt.

Was soll dann aber dieses in der letzten Zeile sein (einheitlich für alle ), welche Gestalt hat das??? Verstehe ich nicht. unglücklich
FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, erstmal Danke das du mir helfen willst! Wink

zur a)
ist den die zweite Lösung von mir richtig?

zur b)
Ich hab die Aufgabenstellung 1.1 abgeschrieben, also mehr hab ich nicht zur Verfügung gehabt. Das hast du ja selbst korrigiert - Danke an der Stelle.
Ich hab versucht die Aufgabe so anzugehen wie die a) (sollte die den überhaupt stimmen). Drum hab ich versucht eine Abbildung zu definieren, die mir die Werte ausgibt, die die reelle Zahl unter dem Polynomen ausgibt, damit ich dann das Urbild aus der Null nehmen kann um auf A zu kommen. Hat aber irgendwie nicht geklappt -.-

Vielleicht ist die ja besser:

mit

wobei
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde bei b) grundsätzlich anders herangehen und dort einfach nachweisen, dass abzählbar ist. Und abzählbare Teilmengen von sind ja generell messbar.


Bei deiner a)-Lösung finde ich es seltsam, warum du die Funktion in die Definition der Mengen und hineinbringst, denn eigentlich meinst du ja doch eher

.

So wird dann ein Schuh draus, denn für deine Definition

Zitat:
Original von FelNa1109

ist gar nicht gewährleistet, dass und gilt, sondern lediglich und .


Ansonsten ist es in Ordnung, wenn auch überkompliziert angesichts des schnell erkennbaren .
FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, Dankeschön smile Mal eine Frage am Rande, waren die Algebraischen Zahlen nicht die Nst. eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten? Er hat definitiv rational in seiner Aufgabenstellung stehen, bin da aber nicht sicher ob das so sein soll...

Naja, das würde ich dann aber jetzt so zeigen:

Eine Zahl ist genau dann algebraisch (evtl.), wenn sie Nullstelle einen nicht-konstanten Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist.

Wissen:
- jedes Polynom vom Grad n hat höchstens n Nullstellen, also endlich viele
-da die Koeffizienten rational sind und abz. ist, gibt es nur abz. viele Polynome vom Grad n

Menge der Polynome vom Grad höchstens n ist gleichmächtig zu (n-mal), wobei da auch schon Polynome kleineren Grades enthalten sind und die Menge abzählbar ist.

Also sind die algebraischen Zahlen die abzählbare Vereinigung, abzählbar Mengen und somit auch abzählbar
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von FelNa1109
waren die Algebraischen Zahlen nicht die Nst. eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten? Er hat definitiv rational in seiner Aufgabenstellung stehen, bin da aber nicht sicher ob das so sein soll...

Beide Betrachtungsweisen sind äquivalent: Man kann ja die Gleichung mit den rationalen Koeffizienten mit dem kgV der Nenner aller Koeffizienten multiplizieren und hat dann eine Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten, die dieselben Lösungen besitzt. Augenzwinkern
FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann fehlt nur noch die c) sofer der Beweis bei b) stimmt!
da hatten wir einen Satz:

Sei (E, d) ein metrischer Raum und messbar, sodass existiert für alle
ist messbar

Ich hab mir überlegt, ob ich den hier urgendwie verwenden kann, und hab mit Funktionsfolgen rum hantiert, kam aber leider nichts bei rum unglücklich
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