Anfangswertproblem

21.04.2018, 14:50

forbin

Anfangswertproblem

Hallo Leute,

ich komme einfach mit den DGL nicht wirklich zurecht und brauche eure Hilfe:

Man löse das AWP: $\begin{eqnarray*} y' = 3y+sin(x), y(0) = 1 \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz: $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} = 3y+sin(x) \Leftrightarrow dy = (3y + sin(x))dx \Leftrightarrow \int dy = \int 3y+sin(x) dx \Leftrightarrow y +c_{1} = 3yx - cos(x) + c_{2} \Leftrightarrow y - 3yx = -cos(x) +c_{2} - c_{1} \Leftrightarrow y = \frac{-cos(x) +C}{1-3x} \end{eqnarray*}$

Ist das bis hierher überhaupt korrekt?
Setze ich nun die Null ein, erhalte ich: C=2.

22.04.2018, 02:30

mYthos

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Nein, das ist nicht korrekt!

Du hast auf der rechten Seite nach x zu integrieren und es steht dort noch 3y, welches aber NICHT konstant ist, sondern von x abhängt.
Deswegen - weil y eine noch unbekannte und die zu berechnende Funktion von x ist - ist das Integral so nicht zu bestimmen und vor allem nicht 3yx.

Die Trennung der Variablen geht hier nicht, daher ist ein anderer Lösungsweg einzuschlagen.
Da sin(x) die Störfunktion ist, könnte es helfen, zunächst die homogene Diffgl y' = 3y zu lösen ..

mY+

22.04.2018, 10:52

forbin

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Zitat:

Original von mYthos
Da sin(x) die Störfunktion ist, könnte es helfen, zunächst die homogene Diffgl y' = 3y zu lösen ..

mY+

Das ergibt mir $\begin{eqnarray*} e^{3x} \end{eqnarray*}$ , was ich aber leider auch nur durch Raten hinbekomme traurig

22.04.2018, 12:53

mYthos

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Das ist unvollständig, es ist hier auch noch eine Konstante im Spiel.
Die homogene Gleichung kannst du außerdem mittels Trennung der Variablen lösen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd y} y = 3 \dd x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln y = 3x + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = c_1e^{3x} \end{eqnarray*}$

Für eine partikuläre Lösung $\begin{eqnarray*} y_p \end{eqnarray*}$ ist der Ansatz $\begin{eqnarray*} y = A \sin x + B \cos x \end{eqnarray*}$ mit anschließendem Koeffizientenvergleich erfolgreich.

mY+

22.04.2018, 23:53

forbin

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Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung ist: $\begin{eqnarray*} y = A\cdot e^{3x} \end{eqnarray*}$
Mit dem von dir genannten Ansatz erhalte ich als spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung: $\begin{eqnarray*} y = -\frac{3}{10}sin(x)-\frac{1}{10}cos(x) \end{eqnarray*}$

Addiert:
y = $\begin{eqnarray*} A\cdot e^{3x}-\frac{3}{10}sin(x)-\frac{1}{10}cos(x) \end{eqnarray*}$

Mit dem Anfangswertproblem erhalte ich: $\begin{eqnarray*} A = \frac{11}{10} \end{eqnarray*}$ .

Laut Geogebra passt das Prost

WOW!
DANKE!

24.04.2018, 15:48

mYthos

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Ja, tatsächlich! smile

mY+

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Anfangswertproblem

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