Semi-Riemanische-Metrik

21.04.2018, 18:56

Kreisell

Semi-Riemanische-Metrik

Guten Abend,

ich versuche jetzt schon seid ein paar Std die Riemanische Metrik g für einfaches Beispiel aus der Vorlesung zu berechen, aber schaffe es nicht. Könnte mir bitte mal jemand Schritt für Schritt erklären wie man da verfahren muss.
Ich muss nämlich in einer Hausaufgabe die Levi-Cevita-Verknüpfung für mehrere Mannigfaltigkeiten berechnen und dafür muss ich ja erstmal g bestimmen (um die Christoff symbole zu berechnen)

Das Beispiel aus der Vorlesung lautet:
Sei $\begin{eqnarray*} M=\{(x^1,x^2)| x^2 \geq 0\} \subset R^2 \end{eqnarray*}$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Als Lsg. kommt heraus
$\begin{eqnarray*} g=\frac{1}{(x^2)^2}(dx^1 \otimes dx^1 + dx^2 \otimes dx^2) \end{eqnarray*}$ wie kommt man auf den Vorfaktor?
$\begin{eqnarray*} g_{ij} = \begin{bmatrix}<br /> \frac{1}{(x^2)^2} & 0 \\<br /> 0 & \frac{1}{(x^2)^2}<br /> \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

Wir hatten g und die Matrixkomponenten in der Dualbasis des Tagentialraums wie folgt definiert(siehe Anhang). Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen, damit endlich mit den Hausaufgaben anfangen kann smile

Grüße
Kreisel

22.04.2018, 12:10

IfindU

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RE: Semi-Riemanische-Metrik
Die Riemannsche Metrik hängt doch von der Wahl der Bilinearform ab. Ich würde davon ausgehen du nimmst das Standardskalarprodukt eingeschränkt von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , während das Beispiel von einem gewichteten Produkt ausgeht.

22.04.2018, 12:16

Kreisell

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Zitat:

während das Beispiel von einem gewichteten Produkt ausgeht.

Daher kommt also der Vorfaktor?

Kannst du mir noch erklären, wie man bei einer gegeben Metrik die Matrixelemente berechnet. Aus der Definition ist das nicht ganz ersichtlich. Könntest du Beispielhaft $\begin{eqnarray*} g_{11},g{12} \end{eqnarray*}$ für das obige Beispiel berechnen

22.04.2018, 13:40

IfindU

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Ja. Erstens müsste die Mannigfaltigkeit $\begin{eqnarray*} M=\{(x^1,x^2)| x^2 > 0\} \subset R^2 \end{eqnarray*}$ heissen. Mit nicht-strikter Ungleichung ist es keine Mannigfaltigkeit (sondern nur eine Mannigfaltigkeit mit Rand).

Dann ist für $\begin{eqnarray*} p \in M \end{eqnarray*}$ die Abbidlung $\begin{eqnarray*} g_p(v, w) = \frac 1 {p^2} \langle v, w \rangle \end{eqnarray*}$ eine riemannsche Metrik, wobei man als globale Karte die Identität von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ eingeschränkt auf $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ genommen hat.

Was du mit der zweiten Frage meinst, versteh ich nicht.

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