Grenzwert Betragsquadrat komplexe Reihe

21.04.2018, 23:01	-Sirius-	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert Betragsquadrat komplexe Reihe Hi zusammen, gegeben seien zwei Reihen $\begin{eqnarray} G(q_1)=\sum_{n_1=-(N_1-1)/2}^{(N_1-1)/2}\mathrm{e}^{-i 2\pi n_1q_1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G(q_2)=\sum_{n_2=-(N_2-1)/2}^0\mathrm{e}^{-i 2\pi n_2q_2} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} q_1,q_2\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} N_1,N_2\in\mathbb{N}^+ \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} N_1 \end{eqnarray}$ ungerade. Es interessiert nun $\begin{eqnarray} \lim_{N_1\to\infty}\|G(q_1)\|^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{N_2\to\infty}\|G(q_2)\|^2 \end{eqnarray}$ . Zuerst kann man jeweils Indexverschiebungen vornehmen: $\begin{eqnarray} m_1=n_1+(N_1-1)/2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} m_2=n_2+(N_2-1)/2 \end{eqnarray}$ . Das ergibt (geometrische Reihe): $\begin{eqnarray} G(q_1)=\mathrm{e}^{i\pi(N_1-1)q_1}\sum_{m_1=0}^{N_1-1}\mathrm{e}^{-i 2\pi m_1q_1}=\mathrm{e}^{i\pi(N_1-1)q_1}\frac{1-\mathrm{e}^{-i 2\pi N_1q_1}}{1-\mathrm{e}^{-i 2\pi q_1}}=\frac{\sin(\pi N_1q_1)}{\sin(\pi q_1)}\,\mathrm{e}^{-i\pi(N_1-1)q_1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G(q_2)=\mathrm{e}^{i\pi(N_2-1)q_2}\sum_{m_2=0}^{(N_2-1)/2}\mathrm{e}^{-i 2\pi m_2q_2}=\mathrm{e}^{i\pi(N_2-1)q_2}\frac{1-\mathrm{e}^{-i\pi(N_2+1)q_2}}{1-\mathrm{e}^{-i 2\pi q_2}}=\frac{\sin(\pi\frac{N_2+1}{2}q_2)}{\sin(\pi q_2)}\,\mathrm{e}^{-i\pi\frac{N_2-1}{2}q_2} \end{eqnarray}$ Das führt auf: $\begin{eqnarray} \lim_{N_1\to\infty}\|G(q_1)\|^2=\frac{\lim_{N_1\to\infty}\sin^2(\pi N_1q_1)}{\sin^2(\pi q_1)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{N_2\to\infty}\|G(q_2)\|^2=\frac{\lim_{N_2\to\infty}\sin^2(\pi\frac{N_2+1}{2}q_2)}{\sin^2(\pi q_2)} \end{eqnarray}$ Stimmt das von den Umformungen her? Ich bin mir bei der Indexverschiebung unsicher, ob diese wie oben anwendbar ist, wenn man später $\begin{eqnarray} N_1,N_2 \end{eqnarray}$ gegen unendlich gehen lässt. Sind die beiden Grenzwerte identisch?

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