Erwartungswert und Indikatorfunktion

22.04.2018, 02:29	Elli28	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert und Indikatorfunktion Meine Frage: Liebes Forum, wie gehe ich mit einem Erwartungswert der Form $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \mathbb{E} \big[ 1_{\{Y>0\}} Y]<br /> <br /> \end{eqnarray}$ um? Speziell; warum gilt: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \mathbb{E} \big[ 1_{\{\vert\max\limits_{i=1,\dots,N}Z_{i,n}\vert-K>0\}} * (\vert\max\limits_{i=1,\dots,N}Z_{i,n}\vert-K)] = \int_0^\infty \mathbb{P}[\vert\max\limits_{i=1,\dots,N}Z_{i,n}\vert-K>u] du<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Dabei ist: 1. Z_{i,n} die Summe von X_t, t=1,...n, und für jedes X_t gilt IP(X_t=+-1)=1/2. 2. K > 0 Meine Ideen:* ich weiß, dass 1. $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \mathbb{E}[X]=\int_\Omega X ~d\mathbb{P}<br /> <br /> \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \mathbb{E}[1_A] = \mathbb{P}\big[ A \big]<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Setzen wir oben mal ein. $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \mathbb{E} \big[ 1_{\{Y>0\}} Y] = \int_\Omega 1_{\{Y>0\}} * Y ~d\mathbb{P} = \int_0^\infty Y ~d\mathbb{P}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$ und nu?
22.04.2018, 06:55	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Für nichtnegative Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ gilt die Berechnungsformel $\begin{eqnarray} E[X] = \int\limits_0^{\infty} (1-F_X(u)) ~ \dd u = \int\limits_0^{\infty} P(X>u) ~ \dd u \end{eqnarray}$ . Für eine beliebige Zufallsgröße $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ folgt daraus für deren Positivteil $\begin{eqnarray} X_+ := \max(X,0) = 1_{\{X>0\}}\cdot X \end{eqnarray}$ der Erwartungswert $\begin{eqnarray} E\left[X_+\right] = \int\limits_0^{\infty} P\left(X_+>u\right) ~ \dd u = \int\limits_0^{\infty} P(X>u) ~ \dd u \end{eqnarray}$ . Sieht so aus, als wäre diese letztere Formel einfach auf die Zufallsgröße $\begin{eqnarray} X = \left\| \max\limits_{i=1,\ldots,N} Z_{i,n} \right\|-K \end{eqnarray}$ angewandt worden, mehr passiert hier nicht.

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