Rotationsvolumen zwischen Kurven

22.04.2018, 09:47

Team_Anonymous

Rotationsvolumen zwischen Kurven

Guten Tag, ich soll das Volumen des Körpers, der durch Rotation der Fläche zwischen den Kurven mit den Gleichungen
$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{8x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x-5)^2 +y^2 =9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=5 \end{eqnarray*}$
und der x-Achse entsteht, berechnen.

Die Formel für Rotationsvolumen lautet:
$\begin{eqnarray*} \pi\int_{a}^{b} \! (f(x))^2 \, dx \end{eqnarray*}$

Um die Gleichung 2: $\begin{eqnarray*} (x-5)^2 +y^2 =9 \end{eqnarray*}$ zu integrieren, bilde ich die Umkehrfunktion von f(x). Ich erhalte
$\begin{eqnarray*} f(y)=\sqrt{9-x^2}+5 \end{eqnarray*}$
Mein Ansatz ist:
$\begin{eqnarray*} \pi(\int_{0}^{5} \! (\sqrt{8x})^2 \, dx - \int_{0}^{5} \! f(y)=\sqrt{9-x^2}+5 \, dy) \end{eqnarray*}$
Jedoch scheitere ich am integrieren des zweiten Teils, da ich dann komplexe Zahlen erhalte, die ich gemäss Resultat nicht erhalten sollte...
Im Anhang ist noch eine Zeichnung mit der zu rotierenden Fläche blau schraffiert...

Nun weiss ich nicht, ob ich einen Denkfehler mache oder die Umkehrfunktion falsch gebildet habe oder falsch integrierte?
Kann mir jemand weiterhelfen?

22.04.2018, 09:50

Team_Anonymous

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RE: Rotationsvolumen zwischen Kurven
Ich habe beim Ansatz vergessen, die Funktion quadriert darzustellen.

Da ich mich jedoch nicht bei diesem Forum registrieren kann, da die Recaptcha Version 1 abgelaufen ist und jeglicher Registrationsversuch so scheitert, kann ich meinen Beitrag nicht editieren...

22.04.2018, 10:32

sibelius84

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Moin moin,

wenn ich das richtig sehe, hast du tatsächlich bei der "Umkehrfunktion" (bzw. genauer: dabei, aus der Gleichung (x-5)²+y²=9 einen Funktionsterm zu gewinnen) einen Fehler gemacht: Es gilt

$\begin{eqnarray*} (x-5)^2+y^2=9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow y^2=9-(x-5)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow y=\pm\sqrt{9-(x-5)^2} \end{eqnarray*}$ .

Anhand der Skizze erkennt man schnell, dass die "Minus-"Lösung ausscheidet und mit der "Plus-"Lösung weitergearbeitet werden sollte.

Ich vermute, das Integral wird nachher am besten in zwei Teile zerlegt; der Teil, in dem man die obige Funktion integrieren muss, lässt sich knacken mit der Substitution 'von innen' $\begin{eqnarray*} x(t):=5+3\sin(t) \end{eqnarray*}$ .

LG
sibelius84

22.04.2018, 10:46

Huggy

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Zitat:

Original von sibelius84
Ich vermute, das Integral wird nachher am besten in zwei Teile zerlegt; der Teil, in dem man die obige Funktion integrieren muss, lässt sich knacken mit der Substitution 'von innen' $\begin{eqnarray*} x(t):=5+3\sin(t) \end{eqnarray*}$ .

Wieso denn das? Es ist doch über

$\begin{eqnarray*} f(x)^2=y^2=9-(x-5)^2 \end{eqnarray*}$

im Bereich $\begin{eqnarray*} x \in [2,5] \end{eqnarray*}$ zu integrieren.

22.04.2018, 10:50

Team_Anonymous

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Dankeschön für die Antwort!
Ich möchte nun ja das Integral $\begin{eqnarray*} \pi*\int_{0}^{5} \! (\sqrt{8x})^2 \, dx -\pi*\int_{0}^{5} \! (\sqrt{9-(x-5)^2})^2 \, dx \end{eqnarray*}$ lösen.
Dabei erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \pi*\int_{0}^{5} \! (8x) \, dx -\pi*\int_{0}^{5} \! (9-(x-5)^2 \, dx = \pi(\int_{0}^{5} \! (8x) \, dx) -\pi(\int_{0}^{5} \! -x^2 +10x -16 \, dx) \end{eqnarray*}$

Dies ergibt
$\begin{eqnarray*} \pi*(\frac{8*5^2}{2} - (\frac{-5^3}{3}+\frac{10*5^2}{2} -16*5) ) = \frac{50\pi}{3} \neq 82\pi \end{eqnarray*}$

Ist also noch nicht das richtige Resultat!

22.04.2018, 10:56

Huggy

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Das zweite Integral geht nur von 2 bis 5, nicht von 0 bis 5.

22.04.2018, 11:02

Team_Anonymous

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Oh vielen Dank! Mithilfe des Radius der Kugel komme ich ja auf den Schnittpunkt dieser Kurve!

Weiss zufälligerweise noch jemand von euch, ob man sich momentan wirklich nicht beim Forum registrieren kann?

Freundliche Grüsse

22.04.2018, 11:14

Huggy

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Zitat:

Original von Team_Anonymous
Weiss zufälligerweise noch jemand von euch, ob man sich momentan wirklich nicht beim Forum registrieren kann?

Keine Ahnung!
Stell das doch mal als Frage mit einer genauen Beschreibung deines Problems, beim Versuch dich zu regristieren, in das Unterforum "Fragen zum Matheforum" ein. Dann wird irgendwann der Admin darauf aufmerksam.

22.04.2018, 11:20

sibelius84

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Zitat:

Original von Huggy

Zitat:

Wieso denn das? Es ist doch über

$\begin{eqnarray*} f(x)^2=y^2=9-(x-5)^2 \end{eqnarray*}$

im Bereich $\begin{eqnarray*} x \in [2,5] \end{eqnarray*}$ zu integrieren.

Ach so ja, stimmt Engel

edit:
Bin gerade etwas verwirrt. Wenn wir den Rotationskörper zwischen zwei Funktionsgraphen f_1, f_2 berechnen wollen - müssen wir dann $\begin{eqnarray*} \pi\int_a^b (f_2-f_1)^2(x)\, dx \end{eqnarray*}$ , oder $\begin{eqnarray*} \pi\int_a^b (f_2^2-f_1^2)(x)\, dx \end{eqnarray*}$ berechnen? Im ersteren Fall bliebe ja eine Wurzel übrig und wir bräuchten doch eine Substitution, oder? verwirrt

22.04.2018, 12:41

Team_Anonymous

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So weit ich weiss, müsste man den zweiten Fall anwenden.

22.04.2018, 12:54

Huggy

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Richtig. Wenn man zunächst nur den Fall $\begin{eqnarray*} f_2 \geq f_1 \geq 0 \end{eqnarray*}$ betrachtet, dann berechnet man das Rotationsvolumen von $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ und zieht davon das Rotationsvolumen von $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ ab. Das ist ja genau das Volumen des Rotationskörpers zwischen den beiden Kurven. Im Allgemeinen muss man diese Prozedur eventuell stückweise ausführen.

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