stetig in einem Punkt => partiell stetig in diesem Punkt

22.04.2018, 13:35	Abc123abc	Auf diesen Beitrag antworten »
stetig in einem Punkt => partiell stetig in diesem Punkt Meine Frage: Hallo, Ich soll beweisen, dass wenn eine Funktion f: IR^n -> IR^m stetig in x=(x1,...,xn) ist, dann ist sie dort auch partiell stetig. Meine Ideen: Für Funktionen die für alle x-Variablen bis auf eine xi (1 <= i <= n) folgt ja aus Stetigkeit direkt partielle Stetigkeit. Aber für alle anderen weiß ich nicht wie ich das zeigen soll. Kommt man mit nicht partiell stetig -> nicht stetig weiter?
23.04.2018, 22:55	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ja, mit "nicht partiell stetig => nicht stetig" käme man weiter, denn das ist ja genau die Kontraposition. Kommt mir aber etwas zu billig vor Stetig heißt ja, dass in jedem Punkt a gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{x\to a}f(x)=f(a) \end{eqnarray}$ , bzw. $\begin{eqnarray} \lVert f(x)-f(a) \rVert \stackrel{x\to a}\longrightarrow 0 \end{eqnarray}$ bzgl. einer beliebigen Norm auf dem \|R^n. Jede der gängigen Normen erfüllt $\begin{eqnarray} \lvert x_k-y_k \rvert \leq \lVert x-y \rVert \end{eqnarray}$ für alle Komponenten $\begin{eqnarray} x_k,y_k \end{eqnarray}$ der Vektoren $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ . Damit sollte man die partielle Stetigkeit leicht aus der totalen Stetigkeit folgern können. Interessant übrigens, dass dies so benannt wird. Auch wenn ich mir die Bedeutung aus "partiell differenzierbar" und "total differenzierbar" analog ableiten kann, habe ich dies in dieser Form noch nie vorher gehört. Hat euer Dozent bzw. eure Dozentin irgendeinen Kommentar dazu abgegeben, warum es sinnvoll bzw. nötig ist, dies so zu definieren? LG sibelius84

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