Konvergenz Potenzreihe in C

22.04.2018, 20:19

LuciaSera

Konvergenz Potenzreihe in C

Meine Aufgabe:

Für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ betrachte die Potenzreihenentwicklung
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{ze^{xz}}{e^{z}-1} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} B_{n}(x)\frac{z^{n}}{n!} <br /> \end{eqnarray*}$
und setze $\begin{eqnarray*} B_{n}=B_{n}(0) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N_{0} \end{eqnarray*}$

a) Für welche $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ konvergiert die Potenzreihe?

Diese Reihe konvergiert doch eigentlich, wenn der Grenzwert existiert, bzw. sie eben nicht divergiert. Wenn ich dann einfach einmal die linke Seite dieser Gleichung betrachte, ist das doch genau dann der Fall, wenn $\begin{eqnarray*} e^{z}\neq 1 \end{eqnarray*}$ ist oder?

Ich habe das so aufgeschrieben:
Potenzreihe konvergiert $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow e^{z} \neq 1 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Konvergenz $\begin{eqnarray*} \forall z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ \ { $\begin{eqnarray*} 2\pi i k|k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ }.

Ist das so korrekt? Also ist diese Aufgabe so vollständig? Es kommt mir einfach zu kurz vor.

22.04.2018, 21:51

sibelius84

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Hi,

nein, ist so leider nicht richtig. Man hat ja auch die Potenzreihenentwicklung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-z}=\sum_{k=0}^\infty z^k \end{eqnarray*}$ . Sie gilt aber nur für $\begin{eqnarray*} \lvert z \rvert < 1 \end{eqnarray*}$ , denn ansonsten ist die Folge, über die in der Reihe summiert wird, gar keine Nullfolge, also kann die Reihe nicht konvergieren. (edit: Für $\begin{eqnarray*} \lvert z \rvert > 1 \end{eqnarray*}$ könnte man höchstens noch Folgendes tun:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-z}=-\frac 1 z \cdot \frac{1}{1-\frac 1 z} = -\frac 1 z \cdot \sum_{k=0}^\infty \left(\frac 1 z\right)^k = -\sum_{k=0}^\infty z^{-k-1}. \end{eqnarray*}$ Das nennt man dann "Laurentreihe".)

Ich würde zur Prüfung der Konvergenz ein geeignetes Kriterium anwenden. Falls B_n(x) nicht allzusehr dazwischenfunkt, könnte das Quotientenkriterium sinnvoll sein, wegen der Fakultät.

Was ist hier mit B_n gemeint? Die Betafunktion? Die hängt doch nicht von n ab. Oder die n-te Bernoullische Zahl? Die hängt doch nicht von x ab. verwirrt

Wenn du da erklären könntest, was damit gemeint ist, könnte ich evtl noch konkreter weiterhelfen.

LG
sibelius84

22.04.2018, 21:55

LuciaSera

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Mit $\begin{eqnarray*} B_{n} \end{eqnarray*}$ ist ein Bernoulli-Polynom gemeint. Ich habe inzwischen auch herausgefunden, dass diese Darstellung anscheinend die erzeugende Funktion der Bernoulli Zahlen ist.

Nach allem was ich bisher gefunden habe, heißt es, dass meine Lösung an sich stimmen müsste. Es gehört nur noch z=0 dazu, weil die Singularität in diesem Punkt behoben werden kann oder so. Mir ist es nur einfach noch nicht ganz schlüssig, wie ich das begründe.

Was mir auch noch nicht ganz aufgeht ist die Singularität des Konvergenzradius. Also was damit gemeint ist...

22.04.2018, 22:05

Leopold

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Ist eine Funktion $\begin{align*} f(z) \end{align*}$ in einem Gebiet $\begin{align*} G \end{align*}$ holomorph und $\begin{align*} w \in G \end{align*}$ , so läßt sich $\begin{align*} f \end{align*}$ mindestens im größtmöglichen Kreis um $\begin{align*} w \end{align*}$ , der noch zu $\begin{align*} G \end{align*}$ gehört, in eine Potenzreihe entwickeln. An Polstellen oder wesentlichen Singularitäten endet der Konvergenzkreis. In unserem Fall sind die Nullstellen des Nenners, also die

$\begin{align*} z_k = k \cdot 2 \pi \operatorname{i} \, , \ \ k \in \mathbb{Z} \end{align*}$

von Interesse. $\begin{align*} z_0 = 0 \end{align*}$ ist eine hebbare Lücke, der Faktor $\begin{align*} z \end{align*}$ im Nenner des Bruches sorgt dafür, daß sich der kritische Bestandteil wegkürzt. Bleiben also die übrigen $\begin{align*} z_k \end{align*}$ . Somit ist

$\begin{align*} G = \mathbb{C} \setminus \left\{ \, z_k \, \left| \, 0 \neq k \in \mathbb{Z} \right. \right\} \end{align*}$

das Holomorphiegebiet von $\begin{align*} f(z) \end{align*}$ . Was ist nun der größte Kreis um $\begin{align*} 0 \end{align*}$ , der noch ganz $\begin{align*} G \end{align*}$ angehört? An ihm kannst du den Konvergenzradius ablesen.

EDIT
Schreibfehler verbessert.

22.04.2018, 22:10

sibelius84

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Ok, du kannst nur nicht allgemein sagen, dass die Potenzreihendarstellung einer Funktion überall konvergiert außer bei den Definitionslücken, das wäre falsch, siehe mein Beispiel. Wenn es hier tatsächlich so ist, dann ist es eine Ausnahme.

Für den Rest sehe ich gerade, dass Leopold mittlerweile geantwortet hat.

22.04.2018, 22:25

LuciaSera

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Okay das heißt also, dass mein Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ ist, da bei k=+/-1 meine erste Polstelle erreicht wird und somit mein Kreis endet. Stimmt das?

Und ein paar Frage hätte ich noch:
Wie kann ich Singularitäten verstehen? Also was sagen sie aus, wofür sind sie da? Sind im wesentlichen Singularitäten einfach Polstellen?

Nach meinem Beispiel müsste das doch heißen, dass Singularitäten bei Kreisen immer am Konvergenzradius sitzen oder? Ist diese Schlussfolgerung richtig? verwirrt

22.04.2018, 22:54

Leopold

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Zitat:

Original von LuciaSera
Okay das heißt also, dass mein Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ ist, da bei k=+/-1 meine erste Polstelle erreicht wird und somit mein Kreis endet. Stimmt das?

Das stimmt.

Das mit den Singularitäten ist etwas komplizierter, als daß man das jetzt hier in wenigen Sätzen sagen könnte. Und bevor ich etwas Falsches sage, halte ich mich lieber zurück. Aber betrachte einmal das folgende Beispiel:

$\begin{align*} f(z) = \operatorname{Log} z \end{align*}$ sei der Hauptzweig des komplexen natürlichen Logarithmus. Das Definitionsgebiet ist $\begin{align*} G = \mathbb{C} \setminus \left\{ \, x \in \mathbb{R} \, \left| \, x \leq 0 \right. \right\} \end{align*}$ . Die Funktion läßt sich nicht darüber hinaus holomorph fortsetzen, ja nicht einmal stetig fortsetzen. Dennoch besitzt $\begin{align*} f(z) \end{align*}$ eine Potenzreihe um $\begin{align*} z_0 = -1 + \operatorname{i} \end{align*}$ mit einem Konvergenzkreis $\begin{align*} K \end{align*}$ , in dem auch Punkte der negativen reellen Achse liegen. In allen Punkten von $\begin{align*} K \end{align*}$ nördlich der reellen Achse stimmt die Potenzreihe mit $\begin{align*} f(z) \end{align*}$ überein, in den Punkten von $\begin{align*} K \end{align*}$ , die auf der reellen Achse oder südlich davon liegen, definiert die Potenzreihe einen anderen Zweig der Logarithmusfunktion. Für den Logarithmus ist die kritische Stelle der Nullpunkt, daher hat $\begin{align*} K \end{align*}$ den Konvergenzradius $\begin{align*} \sqrt{2} \end{align*}$ . Aber der Nullpunkt ist weder ein Pol noch eine wesentliche Singularität der Logarithmusfunktion. Diese Begriffe hat man nur bei meromorphen Funktionen.

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