Äquivalente Systeme einer DGL

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22.04.2018, 22:22

app32

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Äquivalente Systeme einer DGL

Wie muss ich bei der a) vorgehen?

23.04.2018, 09:02

HAL 9000

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Usus ist folgendes Vorgehen zum Überführen eine gewöhnlichen DGL $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -ter Ordnung in der Darstellung $\begin{eqnarray*} y^{(n)} = F\left(x,y,y',y'',\ldots,y^{(n-1)}\right) \end{eqnarray*}$ in eine DGL-System erster Ordnung mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Komponenten:

Zitat:

Einführen eines Vektors $\begin{eqnarray*} z = (z_0,\ldots,z_{n-1})^T \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z_k = y^{(k)} \end{eqnarray*}$ , d.h. der $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -ten Ableitung der Funktion $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ (dabei versteht man unter $\begin{eqnarray*} y^{(0)} \end{eqnarray*}$ die Funktion selbst).

Gemäß dieser Definition sind schon mal $\begin{eqnarray*} (n-1) \end{eqnarray*}$ Gleichungen des aufzubauenden Systems klar: $\begin{eqnarray*} z_k' = z_{k+1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0,\ldots,n-2 \end{eqnarray*}$ repräsentiert diese Ableitungskette.

Die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te und letzte Gleichung ergibt sich über $\begin{eqnarray*} z_{n-1}' = F\left(x,z_0,z_1,\ldots,z_{n-1}\right) \end{eqnarray*}$ .

In (a) sieht das dann z.B. so aus:

$\begin{eqnarray*} z_0' &=& z_1\\ z_1' &=& -x-2z_0 \end{eqnarray*}$

23.04.2018, 11:03

Cactus45

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logge mich lieber mit account an Big Laugh

Wie kommst du auf die 2 Gleichungen ?
Das verstehe ich nicht ?

23.04.2018, 11:19

HAL 9000

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Vorab habe ich die DGL in (a) nach $\begin{eqnarray*} y'' \end{eqnarray*}$ umgestellt, d.h. $\begin{eqnarray*} y'' = -x-2y \end{eqnarray*}$ . Damit haben wir genau die bewusste DGL-Form vorliegen, mit $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} F(x,y,y')=-x-2y \end{eqnarray*}$ .

Und dann genau wie in dem Kasten beschrieben, geradeheraus ohne irgendwelche Schnörkel.

23.04.2018, 14:38

Cactus45

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$\begin{eqnarray*} z_0' &=& z_1\\ z_1' &=& -x-2z_0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich den oberen Term dann habe ,was muss ich dann genau weiter machen?

23.04.2018, 18:39

Cactus45

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In meiner Musterlösung haben die das stehen?

WIe kommen die darauf?

23.04.2018, 18:45

HAL 9000

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Das erste Gleichheitszeichen sollte klar sein, nur dass dort der Funktionsvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}y_1\\ y_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bezeichnet wird statt wie bei mir $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}z_0\\ z_1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , das solltest du in der Lage sein zu übersetzen.

Der Rest ist umschreiben in der Terminologie der linearen Algebra: Das hast du doch irgendwann mal gehabt, dass man ein lineares Gleichungssystem auch in Matrix-Vektor-Schreibweise formulieren kann.

23.04.2018, 20:28

Cactus45

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b)
$\begin{eqnarray*} y*y'' +y' = f(y,y') \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'' =\frac{ f(y,y')-y' }{y} \end{eqnarray*}$

hmm Was mache ich jetzt?

24.04.2018, 08:29

Cactus45

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Noch da Hall?

24.04.2018, 10:22

sibelius84

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Moin moin,

um hier versuchsweise mal etwas zu unterstützen: Ich rechne ein ähnliches Beispiel durch und du versuchst das dann auf deine Aufgabe entsprechend analog anzuwenden. Ok? Augenzwinkern

Beispiel: Die DGL $\begin{eqnarray*} y''=5y+x \end{eqnarray*}$ .

Vorgehen:

1.) Setze $\begin{eqnarray*} y_1 :=y, \quad y_2:=y' \end{eqnarray*}$ . (Das macht man beim Überführen von DGLen 2. Ordnung in Systeme von DGLen 1. Ordnung immer so.)

2.) Schreibe $\begin{eqnarray*} y''=(y')'=y_2' \end{eqnarray*}$ und setze die neuen Bezeichnungen in die DGL ein. Das ergibt

$\begin{eqnarray*} y_2'=5y_1+x \end{eqnarray*}$ .

3.) Nun müssen wir uns noch eine zweite DGL besorgen, damit wir tatsächlich ein System haben, und die Ausgangs-DGL vollständig abgebildet haben. Wir hatten ja oben definiert, dass $\begin{eqnarray*} y'=y_2 \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} y_1=y \end{eqnarray*}$ . Zusammen also $\begin{eqnarray*} y_1'=y_2 \end{eqnarray*}$ . Das ist dann die zweite DGL, und damit ist das System vollständig:

(I) $\begin{eqnarray*} y_1'=y_2 \end{eqnarray*}$
(II) $\begin{eqnarray*} y_2'=5y_1+x \end{eqnarray*}$

In Matrixschreibweise:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}y_1'\\y_2'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\ x\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Nun du mit deiner Aufgabe! smile

LG
sibelius84

24.04.2018, 11:57

Cactus45

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Was mache ich mit dem f(y,y').

Wie soll ich das Teil umändern?

25.04.2018, 16:01

Cactus45

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Was mache ich jetzt genau hiermit:

f(y,y') ?

25.04.2018, 16:40

HAL 9000

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@Kacktus

Was soll denn bei b) groß anders sein? Genau dasselbe in grün, wie es sibelius84 nochmal ausführlich dargestellt hat. Hier dann also

(I) $\begin{eqnarray*} y_1' = y_2 \end{eqnarray*}$
(II) $\begin{eqnarray*} y_2' = \frac{f(y_1,y_2)-y_2}{y_1} \end{eqnarray*}$

25.04.2018, 17:19

Cactus45

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} y_1'\\ y_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \frac{f(y_1,y_2)}{y_1} & \frac{-y_2}{y_1} \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} y_1(x) \\ y_2(x) \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Irgendwo ist glaub ich bei mir was falsch?

25.04.2018, 20:12

HAL 9000

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Die Matrixschreibweise macht nur Sinn, wenn die Matrix keine $\begin{eqnarray*} y_k \end{eqnarray*}$ enthält. Das geht aber nur bei linearen DGL, und bei deinem ja nicht näher spezifizierten $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hat man hier eben keine lineare DGL, womit das Ansinnen einer Matrixschreibweise in diesem Fall sinnlos ist.

Nicht einfach jedes einmal gesehene Schema stupide auf alles anwenden, sondern nachdenken, ob das überhaupt da passend ist.

25.04.2018, 21:34

sibelius84

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Zitat:

Original von HAL 9000
@Kacktus
[/l]

...das war aber keine Absicht, oder? Big Laugh

25.04.2018, 22:05

HAL 9000

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Ach wie peinlich... aber ich war ja nicht der erste im Thread, der den Namen eines anderen verunstaltet hat.

25.04.2018, 22:11

Cactus45

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Aber wie es so richtig jetzt weiter gehen soll ,weiss ich immer noch nicht Big Laugh

Komme auf keine Ideen mehr?

25.04.2018, 22:13

HAL 9000

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Das hier ist das DGL-System, oder von mir aus auch in Vektordarstellung $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} y_1'\\ y_2'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y_2\\ \frac{f(y_1,y_2)-y_2}{y_1}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Was soll denn da bitte noch "weiter" gehen? Es hat keinen Zweck, das tote Pferd einer Matrixdarstellung für eine nichtlineare DGL wie diese weiter zu reiten - steig endlich ab.

26.04.2018, 19:14

Cactus45

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c) $\begin{eqnarray*} y_1' = y_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_2' = x^2-3xy \end{eqnarray*}$

Aber hier ist ja jetzt kein y hmm .

Irgendwas ist wieder falsch bei mir böse

26.04.2018, 20:17

Cactus45

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Somebody there ?

27.04.2018, 01:23

sibelius84

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Was meinst du damit? Wo hast du das her? Ist das eine neue Aufgabe?

27.04.2018, 13:20

Cactus21

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Nein bin immer noch bei der c)?

27.04.2018, 18:39

sibelius84

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Ah ok sorry, die hatte ich gar nicht gesehen. Nun, dann ist das fast perfekt, was du geschrieben hast. Du musst nur in der zweiten DGL noch y durch y_1 ersetzen.

27.04.2018, 18:46

HAL 9000

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Und dieses DGL-System ist nun auch wieder linear, d.h., hier macht es wieder wie bei der ersten Teilaufgabe Sinn, das in diese Matrixschreibweise zu überführen. Der Unterschied ist nur, dass die Matrix diesmal von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängt, aber das ist erlaubt - es darf nur keines der $\begin{eqnarray*} y_i \end{eqnarray*}$ drin auftauchen. Augenzwinkern

28.04.2018, 09:40

Cactus1

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Soll ich x = x1' nennen oder wie?

28.04.2018, 09:48

HAL 9000

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Nein, ich spreche von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} y_1'\\ y_2'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_2\\ x^2-3xy_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -3x & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1\\ y_2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\ x^2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

28.04.2018, 12:17

cactusbaby

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Danke .

Dann war ich ja auf den richtigen Weg hatte es nur nicht in Matrix umgewandelt Big Laugh

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