Zahlentheorie - Falls ab=c^n, dann a,b n-te Potenzen

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muff-in Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlentheorie - Falls ab=c^n, dann a,b n-te Potenzen
Folgende Aufgabe:

Seien a, b, c, n Elemente von N und ggT (a, b) = 1. Falls ab=c^n, dann sind a und b ebenfalls n-te Potenzen.

c hat ja folgende Primzahlzerlegung:

Dann ist c^n:

Wie zeige ich jetzt dass es sich in die Primfaktordarstellung von a^n und b^n zerlegen laesst?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Teilerfremdheit ggT(a,b)=1 beinhaltet ja u.a., dass es keine Primzahl gibt, die zugleich Teiler von beiden Zahlen ist. In der Darstellung (so meinst du es vermutlich) gilt daher für jeden der Faktoren , dass er vollständig zur Primfaktorzerlegung von oder aber vollständig zur Primfaktorzerlegung von gehört. Mit anderen Worten: Eine "Aufteilung" und mit sowie widerspricht ggT(a,b)=1.

EDIT: Sorry, auch hier ein falsches Summen- statt Produktzeichen. Ist nunmehr korrigiert.
muff-in Auf diesen Beitrag antworten »

Okay koennte ich folgendermassen argumentieren:







Damit das ganze jetzt aber

ergibt,

muss gelten?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte oben versucht, es als Schreibfehler abzutun, aber da du auf dem Potenzturm beharrst: Erkläre mal, was der hier im Rahmen von Primfaktorzerlegungen zu suchen hat? Erstaunt1
muff-in Auf diesen Beitrag antworten »

Nein nein, ich meine genau das gleiche wie du. Ich hab nur den Code fuer die Darstellung in Latex nicht gefunden, deswegen schreibe ich es so wie in meinem Beitrag.

Hab auch Copy und Paste von deinem Beitrag versucht, das ging leider auch nicht
muff-in Auf diesen Beitrag antworten »

Edit1: Ich habe es jetzt editiert, ich hoffe du verstehst jetzt was ich gemeint habe. Stimmt das?
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, da ist immer noch ein wenig Durcheinander bei den Exponenten: Wenn wir ansetzen

,

dann ergibt die Gleichheit in Kombination mit den Potenzgesetzen

,

woraus wiederum wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung folgt

für alle Primfaktoren .

Und jetzt greift das oben schon erwähnte Argument, dass wegen der Teilerfremdheit für jedes entweder oder gelten muss (natürlich kann es für verschiedene mal das eine, mal das andere sein).


EDIT: Sorry, bin wohl noch nicht ganz auf der Höhe - hab jetzt die falschen Summenzeichen durch die korrekten Produktzeichen ersetzt. Augenzwinkern
muff-in Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich glaube soweit komme ich mit. Danke fuer die Erklaerung.
Aber wie schlussfolgere ich jetzt daraus, das a und b n-te Potenzen sind? Oder geht das mit der Argumentation gar nicht?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Dieses Argument ermöglicht es, die Menge der in auftauchenden Primfaktoren in zwei disjunkte Teilmengen aufzuteilen:

enthalte die mit ,

enthalte die mit .

Für folgt dann aus obiger Gleichung , und für entsprechend . Das bedeutet schließlich sowie , und damit ist man ja fast am Ziel.
muff-in Auf diesen Beitrag antworten »

Und daraus folgt n = 1/2 bzw. n ist die Wurzel aus den Exponenten der Primfaktoren?

Edit1: Nein moment, das ergibt ja gar keinen Sinn. Daraus folgt, dass jeder Primfaktor mit seinen jeweiligen Exponenten, als Exponent die Zahl n hat oder? Und weil dieser Exponent fuer alle Primfaktoren gleich ist, kann man es zusammenfassen.
muff-in Auf diesen Beitrag antworten »

Nein moment, daraus folgt alpha = 1/2 n*gamma und beta = 1/2 n*gamma oder?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin ein wenig verwirrt ob dieser Gedanken. Alles, was jetzt noch nötig ist, sind wenige Umformungen basierend auf den Potenzregeln:

,

und letzteres entspricht ja der Behauptung, dass eine -te Potenz ist. Und bei läuft's natürlich analog.
muff-in Auf diesen Beitrag antworten »

Achso. Ja tut mir leid, das ist meine erste richtige Mathevorlesung und ich bin noch nicht so gut im Beweisen. :/
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