Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre: Sei W = {a1, a2} und a2 = {a1, a2}

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Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre: Sei W = {a1, a2} und a2 = {a1, a2}
Frage 1: W = a2?

Frage 2: Warum verbietet ZFC solche selbst-verschachtelten Mengen? (Was ist also der tiefere Sinn, mir ist schon klar, dass das wohl gegen ein ZFC-Axiom (Fundierungsaxiom) verstößt, aber warum überhaupt dieses Axiom?) Kann man das an einem einfachen Beispiel erklären?
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sei W = {a1, a2} und a2 = {a1, a2}
ME gilt: W = a2.

Denn durch Ersetzung, jeweils mit a2, folgt: W = {a1, {a1,a2}} und a2 = {a1,{a1,a2}} und beide Mengen haben die gleichen Elemente und egal wie tief man schachtelt, so wird es immer bleiben; das dürfte mit Induktion leicht zu beweisen sein. Dieses Beispiel scheint zu zeigen, dass selbst-verschachtelte Mengen jedenfalls nicht per se zu Widersprüchen führen.
 
 
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, ich habe mal irgendwo gelesen, dass man außerhalb der Mengenlehre das Fundierungsaxiom kaum braucht.

Zu deiner Frage: in ZF ohne Fundierungsaxiom gilt nach extensionalitätsaxiom, da muss man nicht Schachteln oder sonst was machen. Sie haben die gleichen Elemente also sind sie gleich, fertig.

Edit: Übrigens ist es auch ohne Fundierungsaxiom nicht klar, warum es eine Menge wie W geben sollte. Mit den Axiomen von ZFC ohne Fundierungsaxiom lässt sich das jedenfalls nicht beweisen, Widerspruchsfreiheit von ZFC mal angenommen.

Ich kenne mich wirklich schlecht mit Mengenleere aus, aber mein gefährliches Halbwissen sagt mir, dass es dann Modelle gäbe, wo es solche Mengen gibt und andere, wo es sie nicht gibt.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
Übrigens ist es auch ohne Fundierungsaxiom nicht klar, warum es eine Menge wie W geben sollte. Mit den Axiomen von ZFC ohne Fundierungsaxiom lässt sich das jedenfalls nicht beweisen.


Woran würde das scheitern? Ich dachte immer, dass Fundierungsaxiom sperrt solche Mengen wie W/a2 und wenn das weg wäre, dann "Bahn frei". Denn ich sehe (noch) nicht den Grund, warum solche Mengen verboten sein sollen. Eine Idee wäre: Wenn es sowas wie W/a2 gäbe, dann könnte es die Allmenge ja doch geben und die ist ja per se widersprüchlich, egal wie man an ZFC rumschraubt. Könnte es das sein?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist richtig, dass das Fundierungsaxiom die Existenz solcher Mengen ausschließt, das bedeutet man kann mit dem Fundierungsaxiom beweisen, dass es sie nicht gibt.

Das heißt aber nicht, dass man dann ohne Fundierungsaxiom beweisen kann, dass es sie gibt, man kann nur nicht mehr beweisen, dass es sie nicht gibt.

Mal die Widerspruchsfreiheit von ZFC angenommen: Wenn man in ZFC ohne Fundierungsaxiom beweisen könnte, dass es Mengen gibt, die sich selbst enthalten, dann könnte man das auch in ZFC mit Fundierungsaxiom, schließlich hat man einen Satz mehr zur Verfügung. Gleichzeitig kann man aber beweisen, dass es solche Mengen nicht gibt, wir haben einen Widerspruch in ZFC gefunden.

Dies widerum bedeutet nicht, dass es auch ohne Fundierungsaxiom niemals solche Mengen geben kann, es gibt sicherlich Modelle in denen sie existieren (wie auch Modelle, wo sie nicht existieren), es ist bloß nicht mit den Axiomen von ZFC ableitbar.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
Ich kenne mich wirklich schlecht mit Mengenleere aus


Ja ja, große Leere breitet sich aus ... smile
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Big Laugh danke, da konnte ich gerade richtig schön drüber lachen.
Keine Ahnung, warum ich das so geschrieben habe.

Schönes Wochenende smile
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
Mal die Widerspruchsfreiheit von ZFC angenommen: Wenn man in ZFC ohne Fundierungsaxiom beweisen könnte, dass es Mengen gibt, die sich selbst enthalten, dann könnte man das auch in ZFC mit Fundierungsaxiom, schließlich hat man einen Satz mehr zur Verfügung. Gleichzeitig kann man aber beweisen, dass es solche Mengen nicht gibt, wir haben einen Widerspruch in ZFC gefunden.


Ist das nicht ein lupenreiner Beweis gegen selbstenthaltende Mengen unter Annahme der Widerspruchsfreiheit von ZFC (und wenn ZFC widersprüchlich wäre, wäre ohnehin alles aus)? Denn gäbe es sie ohne Fundierungsaxiom, wäre ZFC inkonsistent, also kann es sie nicht geben (wenn ZFC konsistent ist). Damit dürfte es in einem konsistenten ZFC kein Modell für solche Mengen geben, was anderes wären natürlich andere Axiomensysteme, die ja jederzeit möglich sind.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein wäre es nicht, weil es eben auch Tatsachen gibt, die weder beweisbar noch widerlegbar sind. Nur weil man nicht beweisen kann, dass es sich selbst enthaltende Mengen nicht geben kann, müssen sie nicht nicht existieren.

Ein Modell ohne Fundierungsaxiom, in dem es sie gibt ist dann einfach kein Modell für ZFC mit Fundierungsaxiom.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
Nein wäre es nicht, weil es eben auch Tatsachen gibt, die weder beweisbar noch widerlegbar sind. Nur weil man nicht beweisen kann, dass es sich selbst enthaltende Mengen nicht geben kann, müssen sie nicht nicht existieren.



Lass mich da nochmal einhaken und schauen, ob ich es verstehe. Es ginge hier um den Fall: Mal die Widerspruchsfreiheit von ZFC angenommen: Wenn man in ZFC ohne Fundierungsaxiom beweisen könnte, dass es Mengen gibt, die sich selbst enthalten.

Wenn das gelänge, dann sähe es so aus:

ZFC mit Fundierungsaxiom: Widerlegung von selbstenthaltenden Mengen
ZFC ohne Fundierungsaxiom: Beweis von selbstenthaltenden Mengen

Damit wäre ZFC widersprüchlich. Das hatten wir oben in der Annahme ausgeschlossen. Also müsste eines der beiden Ergebnisse falsch sein (das wüssten wir!), wir könnten aber (in ZFC) nicht sagen/beweisen, welches. Richtig?
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe folgenden Einwand gegen mein Baby-Mengenuniversum (ohne ZFC, nur naive Mengenlehre!!!): U = {a1,a2} und a2 = {a1,a2}, gelesen.

Sowas könne es ja gar nicht geben, weil a2 = {a1,a2} ja unmöglich sei, denn einmal habe "a2" keine Mengenklammer um sich und einmal habe es eine. So kann zB auch nicht sein: 1 = {1}, einmal wäre da die 1 und einmal die Menge mit dem Element 1, was zwei völlig verschiedene Dinge sind

Zerstört dieser Einwand die Möglichkeit meines Mengenuniversums? Immerhin wäre in meinem Mengenuniversum die echte Teilmenge a2 gleichmächtig zu U!
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

ist keine echte Teilmenge von , sondern gleich U.

Der Einwand ist kompletter Unsinn. Dann wäre ja auch folgende Menge nicht möglich: {1,{1}}. Denn einmal steht die 1 ohne Mengenklammern und einmal mit. Diese gibt es aber beweisbar in ZFC.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
ist keine echte Teilmenge von , sondern gleich U.


Stimmt, danke.

Zitat:

Der Einwand ist kompletter Unsinn. Dann wäre ja auch folgende Menge nicht möglich: {1,{1}}.


Es geht mE um was Anderes, nämlich um sowas wie 1 = {1}. Offensichtlich wäre das falsch, weil 1 kein Element enthält, dagegen enthält {1} ein Element, nämlich 1. Und aufgrund dieser Überlegung argumentiert derjenige dann weiter: Deshalb muss auch a2 = {a1,a2} bereits widersprüchlich sein, denn das ist der gleiche Fall: rechts der Gleichung steht ein Ding ohne Element, links dagegen ein Ding mit zwei Elementen, beide können nicht gleich sein. Mich verunsichert das und ich weiß da nicht weiter, obwohl ich fühle, dass das ganz elementar zu lösen sein muss.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Warum enthält 1 kein element? Das kann man ohne weiteres nicht sehen. enthält auch Elemente, aber es sind keine Mengenklammern zu sehen.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
Warum enthält 1 kein element?


Weil 1 keine Menge ist, sondern ein Name für eine Menge. Nimm zB sowas wie M = {1,2,3}. Das sieht man überall und ist übliche Terminologie. Hier würde derjenige einwenden: Das kann nicht gleich sein, denn M enthält nix, sondern ist nur ein Name für eine Menge und {1,2,3} enthält drei Elemente und ist eine Menge. Ich würde dagegenhalten: Wir können in der Mathematik jederzeit so tun, als ob etwas gleich ist, solange daraus keine Widersprüche entstehen und das ist bei unserem Mengenmodell: U = {a1,a2}, a2 = {a1,a2}, der Fall, gerade weil a2 gleichzeitig Name der Menge und die Menge selbst ist. Nehmen wir a2 als Name der Menge, dann ist nirgends vordefiniert, wie der zur Menge a2 gleich sein soll, so dass wir frei sind, es anzunehmen. Nehmen wir a2 als Menge, dann ist sie gleich {a1,a2}, weil sie genauso definiert ist.

Wie siehst du das?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde demjenigen empfehlen, sich in eine Analysis 1 Vorlesung zu setzen. Ganz ehrlich: ich habe es einfach aufgegeben, mit Leuten, deren Argumente so aussehen, zu argumentieren. Es ist sinnlos und hilft niemandem. Du hast doch gerade selbst eingesehen, dass das Argument mit den Mengenklammern aus Unverständnis entstehender Schwachsinn ist.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte nochmal auf folgende Frage kommen:

Warum verbietet ZFC solche selbst-verschachtelten Mengen? (Was ist also der tiefere Sinn, mir ist schon klar, dass das wohl gegen ein ZFC-Axiom (Fundierungsaxiom) verstößt, aber warum überhaupt dieses Axiom?) Kann man das an einem einfachen Beispiel erklären?

Ich verstehe zB, warum das Aussonderungsaxiom so ist wie es ist, und zwar weil sonst die inkonsistente Russellsche Menge ableitbar wäre, wie damals noch bei Frege's Version dieses Axioms. Wenn diese Gefahr aber nun gebannt ist, wieso dann nicht selbst-enthaltende Mengen zulassen? Gibt's da einen konkreten Grund für oder nur ein ungutes Gefühl der Mathematiker?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt auch nicht-wohlfundierte Mengenthorien, siehe z.B. [Wiki], [Aczel 88] oder [Nitta et al 03].
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