Ungleichung zeigen, Mittelwertsatz 2

23.04.2018, 12:10

Kathreena

Ungleichung zeigen, Mittelwertsatz 2

Zeige mithilfe des Mittelwertsatzes
$\begin{eqnarray*} 1 \leq e^{-x^2y^2}+2|xy|(x^2+y^2) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall (x,y) \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$

Meine Idee:

Ich habs zuerst umgeschrieben in:

$\begin{eqnarray*} 1 - 2|xy|(x^2+y^2) \leq e^{-x^2y^2} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} e^{-x^2y^2} \leq 1 \end{eqnarray*}$ wegen der negativen Hochzahl und noch dazu $\begin{eqnarray*} e>0 \end{eqnarray*}$ positiv.

Muss auch $\begin{eqnarray*} 1-2|xy|(x^2+y^2) \leq 1 \end{eqnarray*}$ sonst stimmt die Gleichung nicht.

Also $\begin{eqnarray*} 2|xy|(x^2+y^2) \geq 1 \end{eqnarray*}$

Soweit bin ich im moment, weiß aber nich wie ich den Mittelwertsatz hier anwenden kann. zuviele Variablen verwirren mich etwas.

$\begin{eqnarray*} 1 - 2|xy|(x^2+y^2) \leq e^{-x^2y^2} \leq 1 \end{eqnarray*}$

23.04.2018, 12:28

IfindU

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RE: Ungleichung zeigen, Mittelwertsatz 2
Mit der Abschätung des letzten Threads, reicht es $\begin{eqnarray*} 1 \leq e^{-x^2y^2} + 2 x^2y^2 \end{eqnarray*}$ zu zeigen. D.h. es reicht $\begin{eqnarray*} 1 \leq e^{-z} + 2z \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} z \geq 0 \end{eqnarray*}$ zu zeigen.

24.04.2018, 11:24

Kathreena

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Ich habs nach herumexperimentieren nun umgeschrieben zu:

$\begin{eqnarray*} 1 - e^{-x^2y^2}-2|xy|(x^2+y^2) \leq 0 \end{eqnarray*}$
Und mit $\begin{eqnarray*} z = x^2y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 - e^{-z}-2z \leq 0 \end{eqnarray*}$

Mittelwertsatz macht mir immernoch kopfzerbrechen.

Wenn ich die allgemeine Formel nehmen:

$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \end{eqnarray*}$

und sage b<a.

woher weiß ich nun, was ich für ein a wählen soll ?
Wenn mein $\begin{eqnarray*} f(z) =1- e^{-z}-2z \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} f'(\xi) = \frac{f(z) - f(0)}{z-0} = \frac{1-e^{-z}-2z-0}{z-0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1-e^{-z}-2z=(e^{-z}-2)(z-0) \leq 0 \end{eqnarray*}$

Und die Gleichung stimmt zumindest, weil z immer positiv ist.

Also $\begin{eqnarray*} 1-e^{-x^2y^2}-2x^2y^2=(e^{-x^2y^2}-2)(x^2y^2-0) \leq 1 - e^{-x^2y^2}-2|xy|(x^2+y^2) \leq 0 \end{eqnarray*}$

Ich befürchte aber das $\begin{eqnarray*} 1-e^{-x^2y^2}-2x^2y^2\neq(e^{-x^2y^2}-2)(x^2y^2-0) \end{eqnarray*}$ nicht das gleiche ist, also wo ist der Fehler ?

24.04.2018, 12:10

IfindU

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Zitat:

Original von Kathreena
$\begin{eqnarray*} 1-e^{-z}-2z=(e^{-z}-2)(z-0) \leq 0 \end{eqnarray*}$
Ich befürchte aber das $\begin{eqnarray*} 1-e^{-x^2y^2}-2x^2y^2\neq(e^{-x^2y^2}-2)(x^2y^2-0) \end{eqnarray*}$ nicht das gleiche ist, also wo ist der Fehler ?

Der Mittelwertsatz sagt NICHT, dass $\begin{eqnarray*} f(z)- f(0) = f'(z) z \end{eqnarray*}$ . Er sagt es gibt ein Element $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ zwischen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} f(z) - f(0) = f'(\xi) z \end{eqnarray*}$ ist.

24.04.2018, 14:40

Kathreena

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Stimmt.

$\begin{eqnarray*} f'(\xi) = \frac{f(z) - f(0)}{z-0} = \frac{1-e^{-z}-2z-0}{z-0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 1-e^{-z}-2z=(e^{-\xi}-2)(z-0) \leq 0 \end{eqnarray*}$

Und nun stimmts ? $\begin{eqnarray*} e^{-\xi} \end{eqnarray*}$ ist immer kleiner als 1 solange $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ positiv.

24.04.2018, 14:47

IfindU

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Genau

24.04.2018, 21:35

Kathreena

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Noch ein Verständnis Problem, wegen der Abschätzung.

$\begin{eqnarray*} 1 \leq e^{-x^2y^2} + 2x^2y^2\leq e^{-x^2y^2} +2|xy|(x^2+y^2) \end{eqnarray*}$

Die Abschätzung ist ja kleiner als das eigentliche zu beweisende Teil der Ungleichung., müsste ich nicht eher eine Abschätzung finden, die größer wäre und trotzdem kleiner als 1.

Mit meinen Beweis zeig ich ja nur das : $\begin{eqnarray*} 1 \leq e^{-x^2y^2} + 2x^2y^2\ \end{eqnarray*}$

Aber daraus kann man ja nicht folgern das: $\begin{eqnarray*} 1 \leq e^{-x^2y^2} +2|xy|(x^2+y^2) \end{eqnarray*}$
oder ?

25.04.2018, 10:52

IfindU

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Du willst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 0 < a \end{eqnarray*}$ ist. Du weißt, dass $\begin{eqnarray*} b < a \end{eqnarray*}$ . Dann zeigst du, dass $\begin{eqnarray*} 0 < b \end{eqnarray*}$ gilt. Dann gilt $\begin{eqnarray*} 0 < b < a \end{eqnarray*}$ und nach Transitivität der Ungleichung folgt $\begin{eqnarray*} 0 < a \end{eqnarray*}$ .

Was du mit andersrum vorschlägst, kann nicht funktionieren:
Wir wollen zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 0 < a \end{eqnarray*}$ gilt. Wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} a < \infty \end{eqnarray*}$ gilt. Offenbar ist $\begin{eqnarray*} 0 < \infty \end{eqnarray*}$ . Aber wie soll daraus folgen, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ positiv ist?

25.04.2018, 14:15

HAL 9000

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Anmerkung: Genau wie im anderen Thread von Kathreena ist auch hier "mehr drin" bei der Abschätzung, nämlich

$\begin{eqnarray*} 1\leq e^{-x^2y^2}+\frac{1}{2}|xy|(x^2+y^2) \end{eqnarray*}$ .

Tut irgendwie weh, wenn (bei gleichem Beweisaufwand) die Faktoren in der Ungleichung schlechter als nötig gewählt werden. Augenzwinkern

25.04.2018, 17:16

Kathreena

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Danke IfindU, da war ich wohl schon zu müde.

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